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趣味数学小故事:乘除法竖式谜(通过数学逻辑推理从烧焦的遗嘱中平均分配遗产让所有继承人满意)

阿尔法趣味数学网今天给同学们带来一个特别有意思的小故事:从烧焦的遗嘱中平均分配遗产,在数学上是属于乘除法竖式谜,是算式之谜的一种,类似于虫食算。看过算式之谜,虫食算这篇文章的同学们一定不陌生,如果还没有看过的同学,也可以先看看算式之谜(虫食算)这篇文章。

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趣味数学小故事:乘除法竖式谜(通过数学逻辑推理从烧焦的遗嘱中平均分配遗产让所有继承人满意)

故事适合年级:小学三年级及以上

故事大意:

在美国,大侦探梅森是个名声显赫、家喻户晓的人物。人们认为他目光如电、明察秋毫,能够洞悉一切阴谋诡计。梅森何以有这么大的本事呢?这与他爱好数学,用数学来砥砺心智是分不开的。用他自己的话来说便是:数学是块磨刀石;我的大脑好像一把快刀,不磨就会变钝。

有一次,梅森被当事人请去办一桩棘手的案子。百万富翁、曾经当过得克萨斯州州长的布朗先生,不幸死于一场电线老化而引起的大火。这完全是一个偶发事件,没有凶犯,也没有他人受伤。然而,伤脑筋的是,布朗先生唯一的一张遗嘱被烧焦了,字迹难以辨认。该遗嘱一无副本,二无复印件。不过,布朗先生在生前曾对他的律师及亲友们多次讲过,他的继承人为数众多,百人以上,千人以下,全部遗产要平均分配,各人所得之款一模一样。为此,遗嘱里写着一个长长的除法竖式:(如下图)

趣味数学小故事:乘除法竖式谜(通过数学逻辑推理从烧焦的遗嘱中平均分配遗产让所有继承人满意)

不幸的是,在这个除法算式中,只有商数的第2位数字可以辨认出是7。在显微镜下,可以看出除法已经进行到底,而且正好除尽,没有余数。

或许对一般人来说,这样微不足道的线索并没有什么用处,然而,这对梅森来说已经足够了。通过认真思索与无懈可击的推理,梅森发现被除数正好是布朗先生的遗产总值(单位为美元),而除数等于继承人的总数--梅森圆满地解决了这个“无头案”。

那么,梅森是怎样进行逻辑推理的呢?

数学故事所包含的数学知识:算式之谜(乘除法竖式谜)

数学故事逻辑推理及分析:

美国数学家格雷汉曾用这个问题来测试一些人的智力。为了解决这个问题,大家各显神通,所用的方法也大有差别。有的人用了十几个步骤才得出正确结果。其实,要完全解开这个谜,只要3步就行了。请看:

  • (1)商数的第4个数字肯定为零。因为在算式中可以看到,被除数的最后2个数字被同时拿下来了。

  • (2)商数的第1个数字与最后1个数字都比商的第3个数字来得大,因为它们与除数的乘积是4位数,而后者仅是3位数。那它们与第2位数字7相比,是大是小呢?容易看出,第4行与第6行都是3位数,而第3和第4行的差数是3位数,第5和第6行的差数只是2位数(从被除数相应位置上直接移下来的数字不算),这就非常有力地证明了,第6行必大于第4行。于是可以肯定,商的第3位数字必定比7大。综合起来看,商的首位数与末位数必等于9,而商的第3位数字为8。于是可以判定,商一定等于97809。

  • (3)除数的8倍只是个3位数,所以除数决不能大于124,第7行与第8行是完全一样的(否则就意味着除不尽)。除数如果是123或比它更小,第7行的前2位数也必然得不到11,所以,除数既不能大于124,又不能小于124,那就只能是它了。

现在,商数与除数都已求得,我们就可得出完整的除法算式:

趣味数学小故事:乘除法竖式谜(通过数学逻辑推理从烧焦的遗嘱中平均分配遗产让所有继承人满意)

梅森的推理令人心悦诚服。他得到了一大笔酬金。后来,他把这些酬金全部捐给了儿童慈善团体。

课后思考:

结合前面的算式之谜文章,更好的了解掌握算式之谜的几种数学应用:

  • 模式算式之谜;

  • 竖式文字谜;

  • 乘除法竖式谜。


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