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分子之微,宇宙之大,发现无处不在的数学结构和神奇的数学之美

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-20 14:25:10 2592 4 图形

我6岁那年,在一个朋友那里看到了一些稀奇古怪的小五角星。朋友说,那是海百合化石碎片,是他在海滩上拾到的。随后的几个星期里,我经常跑到海滩上试图寻找五角星形状的化石,但再也没有看到。然而,我找到了一些漂亮的螺旋形菊石化石。五角星形、螺旋形……我不由得疑窦顿生:自然界为什么会有这么多图形呢?

与之不同的是,我刚刚开始接触数学时,它却给我一种寡淡无味的感觉。学习数学似乎就意味着摆弄数字。虽然代数略有不同,但也仅是用符号来代替未知数罢了。如果有人告诉我化石雅致、美妙的几何形状与数学之间有着紧密的联系,我肯定会觉得不可思议。

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菊石目化石的内部构造。(图自维基)

大多数孩子在刚开始接触数字时都有浓厚的兴趣,但他们随后就会发现计算是一种折磨,而且有的计算似乎毫无意义,因此在若干年之后,很多孩子就会逐渐丧失对数学的兴趣。我与大多数孩子都不同,因为我一直对数学感兴趣,而且随着学习的深入,我有了两个发现:第一,数字本身蕴含着无穷的魅力;第二,数学是一门博大精深的学科,数字仅是冰山一角,除此以外,它还涉及形状、概率、运动,更重要的是,它与图形有关。事实上,人们经常说数学提供了研究各种图形的系统性理论。

有的数学图形是“无形”的,例如,所有平方数的个位数都是0、1、4、5、6 或9,而不可能是2、3、7 或8。从某种意义上讲,这就是一种“图形”,但我们无法在笔记本上工整地把它画出来。有的图形一目了然,例如菊石化石、蜗牛、旋涡、星系全部呈现螺旋形。蜂窝是由成百上千个小六边形构成的,而形状相同的硬币紧密排列时也会形成同样有规律的结构。这种相似性令人吃惊,因为硬币是圆形,而不是六边形。冰晶中的原子也具有同样的排列结构,因此雪花通常有六条边。有的图形还是动态的,例如运动表现出来的规律性。动物的运动尽管有各种各样的表现形式,例如蛇的滑行,马的快步行走,但是归根结底都具有数学的统一性。

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这些例子都说明了一个深刻的道理:数学图形具有普遍性,不同的情境中经常会出现同一个图形。

这就是我创作本书的目的。数学(“数字”)是如何揭示我们周围世界(“自然界”)中蕴藏的秘密的?自然界的各种图形以及解释这些图形的数学原理引发了人类的审美意识(“美”)。自然界的美直接、直观,而数学的美则蕴含于逻辑结构以及深刻的数学发现之中。但由于现代计算机制图技术的发展,数学同样具备了直观表现美的能力。

对图形的数学研究可谓源远流长:古希腊人对毕达哥拉斯及其门徒奉若神明,对数字顶礼膜拜,认为数字是整个宇宙的哲学基础;1202年出版的一本书把兔子问题列入其中;一位伟大的数学家因为小提琴可以演奏美妙的乐声而感到困惑不解;一位专利局的职员发现了时间和空间有着千丝万缕的联系;一位离经叛道的数学家因为锯齿状的闪电、枝叶参差不齐的大树和绵延起伏的山脉而感到奇怪,想知道为什么大自然不喜欢球形、圆柱体这类规整的几何形状。

本书首先讨论了一个有代表性的简单问题:漫天飞舞的雪花都是对称的六角形,但每一片雪花的形状又各有不同,这是为什么呢?雪花其实就是由水结成的一小团冰,它是如何将规则性与不规则性融为一体,形成了这种奇怪的混合体的呢?在本书结尾,我将就这个问题给出一个算不上圆满的答案,并告诉大家一个事实:数学“图形”千变万化,有的甚至根本看不出是一个图形。有时候,大自然遵循的法则会呈现出某种图形,但大自然本身的表现却看不出任何规律。

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本书从普普通通的雪花开始讲起,带领大家展开对数学与自然界之间的关系的广泛而深入的讨论。数字在两者之间扮演着重要的角色,六角形等规整形状的作用同样不容忽视,但除此以外,还有一个隐藏得更深的因素,那就是结构形态这个概念,尤其是对称的概念。自然界中的图形不计其数,但成因只有一个,即物理基本定律的对称性,而有的对称性(尽管不一定是所有对称性)会以图形的形式表现出来。例如,沙漠中沙丘形成的平行线与老虎身上的条纹,都产生于相同的对称性破缺过程,但前者是作用在沙子上,而后者是作用于化学色素上。

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这个问题还涉及动态研究:物体是如何运动的,物体的形状、大小与位置是如何随着时间的迁移而发生变化的。借助研究动态的数学,艾萨克·牛顿发现,只要理解了一个简洁而巧妙的数学法则——万有引力定律,太阳系各大行星纷繁复杂的运动就会变得一目了然。数学告诉我们,解释自然界中各种图形的关键不在于这些图形本身,而在于产生这些图形的基本法则。混沌理论认为,有规律的法则有时会产生无规律的行为或表现。

现代科学技术全部建立在这个深刻发现的基础之上。自然界遵从各种各样的规则,而数学可以帮助我们发现并描述这些规则。雪花之所以表现出六方对称,并在这个基础上形成了各种各样的形态,原因很简单,那就是它们需要遵从化学与动态变化法则。有人认为揭示这些规则会破坏美,并用魔术做类比:如果我们知道舞台上的魔术师是如何从帽子里变出一只兔子的,魔术就会失去它的魅力。但是,自然界的图形可不是舞台上的魔术,了解这些图形的起源,可以进一步揭示图形中蕴含的特点与关系,让我们得到更多美的感受。


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评论列表(4人评论 , 2592人围观)
  • 2022-04-17 01:23:34

    促共挝在2022年4月17日1时23分33秒发表了专升本报考条件http://www.sdzsb8.cn/sbrx/155.html

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