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三角学中,这么一堆公式其实就说了2个事而已

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-20 14:24:26 290 4

在学三角这部分的时候,有些书习惯列出诱导公式(induction formula),都列出来的话可以写小半张纸。

 那什么是“诱导公式”呢?

“诱导公式”应该是一个老的翻译,“诱导”也就是我们今天所说的“推导”,除了公理之外,那有什么公式不是推导出来的呢?所以说起这种名字就意味着根本就没有名字,因为实在太显而易见了,所以没有人好意思大叫“尤里卡”,没有人好意思冠名。

但是没有名字,交流起来又不方便,所以就干脆这么叫了,这种叫法类似于“孩他娘”。

三角学中,这么一堆公式其实就说了2个事而已

“显而易见”在哪里?

一堆式子本质上只说了两件事情:

① ×(-1) 几何意义是转 π,× i 是转了 π/2。

② f(-x) 的几何意义是 x 轴对称

上面是两个老调重弹,然后,再结合两个显而易见的已知事实:

③ ±2π 的几何意义是不变。

④ co 的含义是余角。

这就是所有的“诱导公式”。

你可以看出,这说的都是些最基础的东西,角函数就是这样的地位:它是二维在一维的投影;旋转和平移的桥梁;可以看做比值,它却有简洁的几何定义。

如此简单的事实是怎么变成那么多公式的?

首先,诱导公式并不是用几何形式写的,而用函数语言写的,所以你需要换一种表示方法,或者说换一种观察角度。而我们对这种角度是陌生的,所以就容易产生混乱的感觉,只要习惯了是一样的。

其次,之所以诱导公式能写很长一串,就是因为把 tan/sec/cot/csc 都印上去了,其实这些都可以通过 sin/cos 的变化一眼就看出来,印上去是为了实际的查阅方便,不是为了记忆。不解释一下会“吓人一跳”,懂了之后就很简单,看似很多,其实就那么回事。

➣怎么样从几何视角转换为函数视角呢?

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其实就是复数乘法

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sin 与 cos 可以看作投影,“平面上关于 x 轴 对称的点”,在 y 轴 的投影自然是一致的,

y 轴的投影刚好符号相反。

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任何角转一圈,从静止的角度来看都是不变的。

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co 的意思是余角,余弦就是余角的正弦。

实际该怎么使用呢?

之所以罗列出诱导公式,最重要的目的就是忘记的时候,对照查阅的,如果你手边没有对照表,其实只要动动脑筋就可以想明白:

● 这些变化都是以 π/2 为单位的,所以说只要看到 π/2 的倍数,就知道可以应用诱导公式。

● 如果是 -π/2 奇数倍就是在原来角和余角之间切换,如果是 +π/2 奇数倍就是 × i ;如果是 π 的奇数倍,就是 ×(-1) ;如果发现是上述情况,但是符号不对,那就通过取对称变换符号。

真正重要的公式是“积化和差”,从名字就会看出这个东西有降次作用,在对数表发明之前,天学家们就已经用这个公式来简化计算了,纳皮尔发明对数表,也可能受到了它的启发。

三角学中,这么一堆公式其实就说了2个事而已

参考资料: 维基百科


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评论列表(4人评论 , 290人围观)
  • 2022-04-17 01:25:04

    究退途在2022年4月17日1时25分2秒发表了成人高考专升本专业http://www.sdzsb8.cn/sbrx/144.html

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