首页 趣味数学题正文

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

xiawuyouke 趣味数学题 2022-02-20 13:53:34 2899 3

一个简单的小题,先别看答案,来试试看:

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

所以「当 A 真时 B 一定假」,所以 T⇒ F 是

请判断以下列命题的真假:

2≠3 ⇒ 1.5 是有理数 (1)

2≠3 ⇒ 1 是质数 (2)

2=3 ⇒ 1.5 是有理数 (3)

2=3 ⇒ 1 是质数 (4)

只有第二个是假,其他的都是真(我是认真的)。你做对了几个?

这是挺反直觉的,第 3 个和第 4 个绝对不可能是对的啊!前提是假的,为什么命题还能是真的呢?难道胡说八道就可以证明数学命题了吗?

数学是严谨的,它的用语和自然语言和是有区别的:「⇒」的并不是「推出」,而是「蕴含」(条件),「A ⇒ B」表示「A为B的充分条件」,而不是「因为A所以B」(「A ├ B」)。1

在「蕴涵」中,前件为「假」,后件无论为「真」还是为「假」,命题都是「真」。

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

「A ⇒ B」表示「A 是 B 的充分条件」。

所以「当 A 真 时 B 假」(T⇒ F) 这个命题是不成立的。

但这也就是唯一的「命题为假」的情况了,因为「充分条件」不满足时,A 对 B 没有约束力(A 不是 B 的必要条件)2,前件为假时,后件无论真假,都是可以的。

就拿 「2=3 ⇒ 1.5 是有理数 (3) 」来说吧,「2=3」 是 「1.5 是有理数 」的充分条件,那么 「2=3」(F) 和 「1.5 是有理数」(T) 这两个命题是可以先后发生并同时存在的,因为 「2=3为 F」 这个事实,并不会对后者造成任何干扰。

用一句谚语来说就是「条条大路通罗马」。

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

举一个生活中的例子:新药上市前要做「双盲对照实验」,「对照组」的病人吃的是假药,但是其中也不乏康复者,这就是 F ⇒ T 的典型案例,是符合逻辑的。

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

不过这和数学又有什么关系呢?平常做题的时候会用得到吗?

蕴含和推出

数学上很多东西就是这样,看似无用,其实用处大着呢。

翻开一本高等数学的教科书,经常会看到书中把「⇒」叫做「推出」,这么说也是没错的,「├」就是在「⇒」的基础上加上了「因果」。

「因为 A 所以 B」,A 至少是「充分条件」,所以「⇒」的道理在「├」中完全适用。

「⇒」是比「├」更基本的道理,它和「∨」、「∧」以及「¬」构成了逻辑的地基,支撑了整个数学大厦。

「2=3 ⇒ 1.5 是有理数」为真,挺反常识的,但「2=3 ∨ 1.5 是有理数」大家就都懂了,其实「⇒」与「∧」都是逻辑运算,不包含任何因果的判断。

计算机里有「与门」、「或门」和「非门」,同样的也可以用电路生成「蕴含门」,但是不能用电路生成「推出门」,如果真的能做到,数学家都可以下岗了。

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

借用一句数学名言:「逻辑运算」是上帝创造的,其余的都是人工作。

「反证法」是常用的证明技术,它之所以行得通,那要仰仗于「⇒」:想证明 ϕ 为 T,假设 ¬ϕ 为 T,再得到 ¬ϕ ⇒ F,就证明了 ¬ϕ 其实为 F,那么 ϕ 为T。

喏,这就是「反证法」了。

「⇒」保证了「反证法」是真理,但无法保证你的 「反证」 是真理,那是你的工作。

数学的本质

这东西也能叫数学吗?!没错,这就是数学,数学早就不只是「计算」了:住店的时候,让服务生给腾个房是数学,那是「希尔伯特旅馆」;去格尼斯堡旅游,不想走冤枉路是数学,那是「格尼斯堡七桥问题」;搬家的时候想选一个沙发,还是数学,你需要知道「沙发常数」。

一种特定的研究之所以被归类为数学,并不是基于什么被研究,反倒是基于它如何被研究。

什么是数学?这基于研究的方法论:数学是研究模式的科学(science of patterns)。 3

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

图自维基

最初,「数学」关注的是「计算」:数学是量的科学 —— 亚里士多德。后来,数学也是关于「几何」的学问:数学是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学 —— 恩格斯。

而「希尔伯特旅馆」是关于「无穷」和「集合论」的模式,人们发现数学并不只是形状和数量,还是「A属于B」这种基本的模式。

在科学中,「实践是检验真理的唯一标准」,而数学却超脱于科学之上,作为「科学的语言」的数学本身就是「真理」,并不需要实验来检验。

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

大道至简,世界是五彩斑斓的图画,数学就是背后的素描骨架,寥寥数笔却决定了世界的形状。

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

佛说「色即是空」,永恒不变的东西才是真,数学就是这样真的东西。对数学家投去尊敬的目光吧,他们研究的是宇宙最基本的真理。

想看透这世间纷纷扰扰,读数学吧,「如果有人不相信数学是简单的,那是因为他们没有意识到人生有多复杂。—— 冯诺依曼」。

想有「真」本事,来学数学吧,翻开上世纪的教科书,科学已满是谬误,而数学的真理却依旧闪耀。

“假”能推出“真”?数学中不为人知的秘密!

▌注释

[1] → 、⇒ 、⊃ 经常被混用,在数理逻辑等数学中常用 ⇒ 和 →,非数学逻辑学家(哲学家)常用 → 和 ⊃ ,这篇文章中他们指的都是「实质蕴含」(条件)。至于╞ 和 ├ 还要区分用法,感觉上那都是哲学家的事情。

[2] 如果A 是 B 的 「必要条件」,那么就意味着,没了A, B 是真不了的,所以当 「A为假」时对「B」就有约束力了,真值表就要变了。

[3] 提出者是阿尔弗雷德 · 诺斯 · 怀特海(Alfred North Whitehead,1861-1947 年),英裔美籍数学家、哲学家,因其数理逻辑、科学哲学和形而上学方面的成就而闻名于世。这人是伯特兰 · 罗素的老师。


版权说明

本文仅代表作者观点,不代表本站立场。
本文系作者授权发表,未经许可,不得转载。

本文链接:http://www.allfloor.org/38602.html

发表评论

评论列表(3人评论 , 2899人围观)
  • 2022-04-17 01:34:43

    炭卵速在2022年4月17日1时34分42秒发表了专升本专业http://www.sdzsb8.cn/sbrx/101.html

小学趣味数学题及答案_教案「免费下载」_小故事-阿尔法趣味数学网

http://www.allfloor.org/

|

Powered By Z-BlogPHP 阿尔法趣味数学网