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合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-19 14:19:46 310 3

昨天在做《数学分析解题指南》,某个公式忘记了,怎么样也想不起来,就去群里问了一下,有位同志说:

合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手

我很赞同他的说法,但这不禁让我想起了关于关于数学教育的一个问题:进行大量的解题训练是必要的吗?

合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手

不知道从什么时候起,批评各种解题训练(以「奥数」为典型),成了一种政治正确,好像不批评几句奥数就不是一个关爱学生的、有良心的长者。

我的同事就对解题训练非常不屑,他送孩子去上奥数班,却和老师打好招呼,不参加考试

我对于奥数和应试教育不了解,专家们的批评大概是有理有据的,但这种风气也许不该刮到数学爱好者的圈子里,因为对于我们来说,夸夸其谈数学思想是更加容易的。

金庸小说里有一个厉害的角色叫「王语嫣」,每当别人用出一个招数,都能够头头是道的点评一番,比谁知道的都多,但却没有实际功夫。 3

王语嫣向段誉瞪了几眼,脸上神色又是诧异,又有些鄙夷,说道:“你怎么会使‘化功大法’?这等污秽的功夫,学来干什么?”

段誉摇头道:“我这不是化功大法。.... 是我大理段氏家传的‘六阳融雪功’,.... 和化功大法一正一邪,一善一恶,全然的不可同日而语。”

王语嫣登时便信了,嫣然一笑,说道:“对不起,那是我孤陋寡闻。大理段氏的一阳指和六脉神剑我是久仰了,‘六阳融雪功’却是今日第一次听到。日后还要请教。” ...

王语嫣虽于武学所知极多,.... 和寻常的农家女孩、湖上姑娘也没什么分别。 6

当你听到诸如此类的批评时,应该要明确的意识到这种矫枉过正的风险。

你到底是要当王语嫣还是要当乔峰呢?换句话说,你到底是想当一个怎样的数学爱好者?是在酒桌上可以夸夸其谈的那种吗?

如果不是的话,那么这一周你做了几道题呢?

解释、评判、欣赏都是二流头脑干的事情。—— 哈代 11

在我看来,合格的数学爱好者,当然要探寻数学思想,固然不应只是一个解题高手,但他必须首先要是一个解题高手 10,在此之前空谈数学思想是没有意义的,因为熟练才是创新的基础

人的大脑就像一台计算机,有内存条(工作记忆 working memory)和硬盘(长期记忆 long-term memory),计算机的内存要比硬盘小得多,但是速度却快很多,所以计算工作只能在内存上进行,如果内存被占满了,那么运算的效率就会急剧下降,电脑就会变得很卡,无法操作。

大脑中的计算机也是一样的道理,思维只能在工作记忆中运行,认知心理学的研究表明,人的工作记忆最多只能有 7 条。

用尽浑身解数而不得解的时候,是工作记忆已经被占满了,皱起的眉头是大脑向你发出的警告。

合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手

这个时候你可能无奈的已经翻起了书,这就相当于在利用虚拟内存,翻了半天之后,终于找到之前那个例题了,终于松了一口气,赶紧复习一遍,把这个方法给用上去,与此同时,却发现旁边的那位已经把题做出来了。

好气啊!这家伙难道偷偷加了一个内存条吗?

合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手

并不是,工作记忆最多只有 7 条 2,但高手可能只用到 3 条就把问题解决了,另外的可以用来自由的发挥数学思想,用更有创造性的过程,更快的解决这个问题,而新手却不得其解。

根本原因在于大脑的「组块化」机制,虽然工作记忆的条数是被严格限制的,但是可以通过「封装」来绕过这个限制。

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就拿学习开车来举例子吧,刚从驾校出来,第 1 次上路的时候,心里是非常紧张的,每一个操作在内心中都要默念一遍,生怕出错,最后还是发现忘记系安全带了,这个时候认知过载了;一年之,新手已经变成了一个老司机,这个时候熟练的上车,一切动作都自动完成,还能悠闲的点上一根烟,边抽边开。(这样会被处罚哦!)

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内存条并没有增加,而是调用的机制改变了,「开车」这一系列动作被封装成了一个「组块」,这就是「组块化」。

而且这个机制并不是虚无缥缈的,通过大脑核磁共振可以发现,经过长期的训练,处理对应信息的大脑区域密度明显增高了,其实这是我们身体中的一种普遍的机制 —— 维持稳定。

你一定有过锻炼之后浑身酸痛的经历,这就是因为肌肉承受不住锻炼带来的损伤而出现了撕裂,而休息之后由于身体具有维持稳定的机制,被撕裂的肌肉会被重新修复,修复之后的肌肉纤维就比之前更加粗壮。 1

当你再看到数学高手时,先别急着去惊叹他的才华有多么不可思议。你应该想到的是,哇,这家伙的肌肉真强壮呀,他肯定下了不少苦功吧。而只不过他的肌肉在大脑里,你又没有透视眼,没法直接看得到而已。

合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手

▲ 图自 pixabay

对于数学思想的领悟应诞生于熟练解题之后,就像「在写十四行诗时,如果每个单词都要查字典,那么这首诗将永远无法完成」。

引用一位数学老师的话:

如果我们把数学的目标仅定为“得出正确答案”,并以此作为测试依据,那么我们培养的学生很有可能考试成绩优秀,却对数学一窍不通。

当然,如果我们培养的大批学生对数学的含义浅尝辄止,无法快捷正确地解题,这样的结果甚至更糟糕。4

为什么我痛恨高斯?

小的时候,经常会被别人这样表扬「这么难的题,你还能做出来啊,真是聪明」,表扬带来的内心喜悦,今天想起来依然是挥之不去。

看数学书的时候,也会经常感慨数学家的智力是如何高超,几何原本就好像一台数学机器一样,定理到公理,一条条的铺好,分毫不差。

翻开数学天书中的一条条证明,你是否也曾掩卷长叹?我真的是没有做数学的天赋啊!

等等?!先别急,你是真的没有数学天赋吗?

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「以大多数人的努力程度之低, 根本还轮不到拼天赋」,这句话谁不知道呀?可是数学题我就是不会做,你又作何解释呢?

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在这里我要问一句?遇到一个百思不得其解的数学题,你是怎样的心情呢?是一点悲伤还是一点不知名的愁? 5

如果是,你的「固定型思维(fixed mindset)」已经害了你。

在认知心理学等社会科学领域,得出可靠结论是不容易的,因为变量太多,但这个结论却接受了双盲实验的考验: 「成长型思维(growth mindset)」比「固定性思维」更有利于学习和提升

先不去争论是否存在天赋,或者说天赋对于人的影响到底有多么大,只是相信「任何事情都是一门技能,都可以通过努力得到提升」,学习成绩都可以得到提高。这已经得到了大规模对照研究的证实。

难道这不是常识吗?

并不是。虽然很多人表面上认同努力,而反对天赋论,但落到实际上却不是这样。

了解一个人,不应该看他说什么,而应该看他做什么,表面上说一套,实际上做另一套,这种事情也是时常发生的。

刚刚的那个问题就很典型,就算有很多人以为努力更重要,但他们做题的时候,仍然会为做不出来。认知和实践出现了断层,既然能力是靠练习提升的,「做不出题目」就算不需要高兴的大跳,起码也应该是平和的。

因为那就是练习的常态:对于一项技能的练习来说,只有存在困难才存在提升。如果你已经轻松的解决了练习题,这说明应该换到一个更难的地方。

就好像健身一样,锻炼完之后肌肉没有酸痛是不正常的,说明重量没加够。

儿时会经常的被表扬「聪明」,其实这也是一种「固定型思维」的灌输,表扬孩子的时候请告诉他:「你能做到这一点,真的是很努力啊~」。而不要说「你能做到这些真是聪明啊~」。后面那种表扬真是会害人的。

选一个好老师也是非常重要的。我说「在学术上成就斐然的教授,在教学上可能是一塌糊涂」,在教学上一塌糊涂的体现之一就是:总让你感觉到「哇,太厉害了」。

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对于这一点,最令人印象深刻的案例莫过于「冯·诺依曼的微积分课」:

有一次,冯 · 诺伊曼讲完一堂微积分课,有位学生跑来问他问题:“冯 · 诺伊曼教授,黑板上最后那个问题,我不了解你是怎么得到答案的”。

冯 · 诺伊曼转过头盯着黑板上那个问题,看了大约一分钟,然后说:e^x。 这位困惑的学生以为他没有听明白,于是说:“我知道那是正确答案,冯 · 诺伊曼教授,我只是不懂它是怎么求出来的。”

结果冯 · 诺伊曼盯住学生看了一分钟,然后移开视线,又重复一遍说:e^x。 这名学生开始失去耐性了:“但你并没有告诉我你究竟是怎么得到答案的!"

冯 · 诺伊曼把头转向他,一脸寒霜地说:" 小伙子,你到底要我怎么办呀?我不是已经用两种不同的方式告诉你了吗?" 7

高斯是一个不世俗的数学天才,他的才华是毋庸置疑的,但我依然对他完全没有好感 9。因为我不是一个「王语嫣」,喜欢对各家各派的武功品头论足,我喜欢是真正能教给我武功的人,高斯是最杰出的数学家之一,但他可能不是个好老师。

当你阅读高斯的著作时,你只会惊叹于他的才华横溢,而对于具体的探索路径一无所知。

「高斯象一只狐狸,用尾巴扫砂子来掩盖自己的足迹。」—— 阿贝尔

「当一幢建筑物完成时,应该把脚手架拆除干净。」—— 高斯

据说这是高斯最大的缺点,也正因如此,他与同时代数学家的关系都不怎么好。在这里我不想对高斯的动机作出其他的评价,但我们可以用脚投票去选择一位更好的老师:在数学圈里与高斯风格截然不同的就是——欧拉。

拉格朗日曾说「读读欧拉,他是所有人的老师」,连高斯也说,「读欧拉的作品乃是了解数学的最好途径」。

挑选教材最重要的是根据水平做出选择,但选择一位平易近人的作者也是不可忽视的。

合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手

真正的好老师应该让学生有这种感觉「这个老师是一个努力而有方法的普通人」,而不是「这个老师是个天才」。

创造力与形式化

能把数学讲得简明易懂,并不是一件容易的事情,高度形式化令人挠头的数学是长期发展的结果,那些复杂的概念并不是「大厦」,严丝合缝的一层一层搭建的,相反,往往是修修补补慢慢改出来的。

数学史的发展也一再证明:自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。 8

——《数学的源与流》

微积分学就是最典型的案例,从牛顿、莱布尼茨、欧拉时期,再到柯西、康托,后又到勒贝格,微积分学符号是越来越怪,外行是越来越看不懂。之所以这样,并不是数学家故意搞坏,只是因为在应用的过程中发现了问题,不断进行修补。

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在1904年那本重要的专题著作的序言中,勒贝格承认他的那些定理把我们从「优美的」函数之邦带到一个更复杂的函数王国,而为了解决那些简单陈述的具有历史意义的问题,还需要在这片王国居住下来。

他写道:「这是为了解决已经提出的那些问题而不是出于对复杂事物的偏爱,我在书中引进一个积分定义,这个定义比黎曼积分的定义更具有普遍性,并且把黎曼积分作为一个特例。」

为的是解决历史留下的问题而不是为了使生活变得错综复杂化:这是亨利·勒贝格在他研究数学的旅程中所奉行的金科玉律。——《微积分的历程》

分析学的大厦是自下而上建立的,但教科书又不得不自上而下的去讲述,这就导致教科书的头几章常常是令人非常头痛,不知所云。

数学书不同于其他的书籍,最开始的囫囵吞枣和不求甚解,以及之后的反复阅读和温习,是非常有必要的。

依靠数学史的轨迹去学习数学,这种教学方式被称为「再创造」 12,这种方法的价值在于:兼顾了创造性和学习效率。

合格的数学爱好者,首先要是一个解题高手

首先它并不是直接「学」,而是还原到当时的历史场景中去感受一个概念诞生的背景,「知其然,但也知其所以然」。其次也并不妄图从头创造一遍历史,那简直是痴人说梦 12。纵然站在历史的高点往前看,「再创造」也是极其困难的,到最后还是要学习前人发明的高效方法。虽然如此,但这个思考的过程中就已经收获了创新能力

初学者很难在一开始就通过「再创造」的学习方法。首先,越是严肃的数学读物越需要坚实的数学知识,这对于初学者来说是不现实的;其次,特殊教科书为了数学的美感,会把很多重要的细节给丢失掉。

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传统的数学教学出现了一种不正常的现象,弗赖登塔尔称之为「违反教学法的颠倒」。数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作,实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论,常以「显然」二字一笔带过。——《数学教学理论选讲》


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