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展示数学美丽和力量的11个方程式,你最喜欢哪一个?

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-15 22:18:38 353 1 方程


展示数学美丽和力量的11个方程式,你最喜欢哪一个?


数学方程式不仅有用,而且非常漂亮。许多科学家承认,他们常常喜欢某些公式,不仅因为它们的实用,还因为它们的形式及其所包含的简单、诗意的真理。

虽然某些著名的方程式为大众所熟知,如阿尔伯特爱因斯坦的E=mc²,但许多不为人知的方程式却仅仅被科学家视为珍宝。LiveScience向物理学家、天文学家数学家询问他们最喜欢的方程式,于是发现了:

广义相对论


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上述方程是爱因斯坦在1915年作为其开创性的广义相对论的一部分而提出的。这一理论通过将引力描述为时空结构的扭曲,彻底改变了科学家对引力的理解。

空间望远镜科学研究所的天体物理学家马里奥·利维奥(MarioLivio)说:“有一个这样的数学方程可以描述时空的一切,这对我来说仍然是匪夷所思的。”所有爱因斯坦的真正的天才都体现在这个方程式中。

利维奥解释说:“这个方程式的右侧表示我们宇宙的能量含量(包括推动当前宇宙加速度的‘暗能量’)。左侧表示时空的几何结构。这个方程反映了这样一个事实:在爱因斯坦的广义相对论中,质量和能量决定了几何结构,同时也决定了曲率,即我们所谓的重力的一种表现形式。

“这是一个非常优雅的方程,”纽约大学的物理学家凯尔·克兰默(Kyle Cranmer)说,他补充道,“这个方程揭示了时空、物质和能量之间的关系。这个方程告诉你它们是如何联系的——太阳的存在如何扭曲时空,使地球在轨道上绕着它运动等等。它还告诉你宇宙是如何从大爆炸开始演化的,并预测应该存在黑洞。”

标准模型


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另一个物理学的主要理论,也就是标准模型,描述了目前被认为构成我们宇宙的基本粒子的集合。

这个理论可被概括到一个称为标准模型拉格朗日方程中(以18世纪法国数学家和天文学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名),这个方程是加利福尼亚州SLAC国家加速器实验室的理论物理学家兰斯·迪克森(Lance Dixon)选择的,也是他喜欢的公式。

迪克森告诉LiveScience说:“它成功地描述了迄今为止我们在实验室观察到的所有基本粒子和力,除了重力。”当然,所描述的基本粒子包括公式中最近发现的希格斯玻色子phi。它完全符合量子力学和狭义相对论。”

然而,标准模型理论还没有与广义相对论相结合,这就是它不能描述重力的原因。

微积分


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虽然前两个方程描述了我们宇宙中特定的具体事物,但另一个我们喜欢的方程可以应用于普遍的抽象事物。微积分的基本定理构成了称为微积分的数学方法的主干,并把它的两个主要思想,积分的概念和导数的概念联系起来。

“简单地说,这个方程表示在给定的时间间隔内,平滑和连续的量(如行驶距离)的净变化等于该量变化率的积分,即速度积分”,福特汉姆大学数学系主任梅尔卡纳·布拉卡洛娃·特雷维希克(Melkana Brakalova-Trevithick)选择了这个方程作为自己的最爱,她说,“微积分基本定理(FTC)使我们能根据某个区间的变化率来确定该区间的净变化。”

微积分的起源于古代,但大部分微积分都是17世纪牛顿用微积分来描述行星围绕太阳的运动时才被提出的。

勾股定理


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每个刚开始学几何的学生都会学习的“老套但好用”的方程式,便是著名的毕达哥拉斯定理。

这个公式描述了对于任何直角三角形,斜边长度的平方c(直角三角形的最长边)如何等于其他两条边(a和b)长度的平方和。因此,a^2+b^2=c^2。

康奈尔大学的数学家戴娜·泰米娜(Daina Taimina)说:“第一个令我吃惊的数学定理就是毕达哥拉斯定理。”那时我还是个孩子,在我看来,它在几何学中起作用,在数字中起作用,真是太神奇了!”

1 = 0.999999999….


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康奈尔大学的数学家史蒂芬·斯特罗加茨最喜欢这个简单的式子,它表明0.999...这个无限循环小数等于1。

斯特罗加茨(Strogatz)说:“我喜欢它的原因是它如此地简单——每个人都理解它说的话——但它是多么的挑衅。很多人不相信这是真的。它也非常平衡。左边代表数学的开始,右边代表无穷大的奥秘。”

狭义相对论


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爱因斯坦再次用狭义相对论列出了这个公式,它描述了时间和空间不是绝对概念,而是相对的,取决于观察者的速度。上面的公式显示了一个人在任何方向上移动的越快,他的时间便膨胀或减慢。

“关键是它非常简单,”日内瓦CERN实验室的粒子物理学家比尔·默里(Bill Murray)说“没有什么是一个优等生不能解决的,何况这个式子没有复杂的导数和矩阵的迹。但它所体现的是一种全新的看待世界的方式,一种对现实的整体态度,以及我们与现实的关系。突然间,僵硬不变的宇宙被冲走,取而代之的是一个由你的视角决定的个人世界。就像你在宇宙之外,看到宇宙内部组成的一部分。而任何想要了解这个宇宙的人都能通过这些概念与公式得以瞥见。”

默里说,他更喜欢狭义相对论方程,而不是爱因斯坦后期理论中更复杂的公式。”我可能永远也学不会广义相对论的数学。”他说。

欧拉方程


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这个简单的公式包含了一些关于球体性质的内容:

马萨诸塞州威廉斯学院的数学家科林·亚当斯(Colin Adams)说:“如果你把一个球体的表面经切割得到面、边和顶点,并令F为面数,E为边数,V为顶点数,那么你总是得到V–E+F=2。”

亚当斯解释说:“以四面体为例,四面体由四个三角形、六个边和四个顶点组成。”r如果你用力地给这个四面体内部吹气,这个四面体就会膨胀成一个球体,从这个意义上说,一个球体可以被切割成四个面,六个边和四个顶点。我们看到V–E+F=2。同样的道理也适用于有五个面的金字塔,它有四个三角形、一个正方形、八条边和五个顶点。”其他几何体也一样。

“这是一件非常酷的事情!顶点、边和面的关系可能揭示着球体的一些基本性质”亚当斯说。

欧拉-拉格朗日方程和诺瑟定理


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纽约大学的克兰默(Cranmer)说:“这些在物理学的重要革命中(比如量子力学和相对论)流传下来的对物理学的思考方式非常有意思,这些思考方式虽然很抽象,但却非常强大。”

这里,L代表拉格朗日量,拉格朗日量是物理系统中能量的度量,这些物理系统包括弹簧、杠杆或基本粒子等。”解这个方程可以得出系统将如何随时间的变化而变化,”克兰默说。

20世纪德国数学家艾美·诺瑟(Emmy Noether)由拉格朗日方程发展出了诺瑟定理。克兰默说:“这个定理实际上是物理学和对称性作用的基础。”通俗来讲,这个定理是,如果一个系统是对称的,那么就有一个对应的守恒定律。例如,今天物理学的基本定律与明天的相同(时间对称性)的观点意味着能量是守恒的。物理学定律在这里和在外层空间中一样的观点意味着动量是守恒的。对称性可能是基础物理中的驱动概念,这主要是由于诺瑟的贡献。”

凯伦-赛曼兹克方程


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罗格斯大学的理论物理学家马特·斯特拉斯勒(Matt Strassler)说:“凯伦-西蒙兹克方程是1970年出现的一个至关重要的第一原理方程,它强调了量子世界中那些天真的观点是如何错误的。”

这个方程有许多应用,包括使物理学家对组成原子核的质子和中子的质量和大小进行估计。

基础物理学告诉我们,两个物体之间的重力和电力,与它们之间距离的平方成反比。简单来讲,同样的道理也适用于强大的核力,核力把质子和中子结合在一起形成原子核,把夸克结合在一起形成质子和中子。然而,微小的量子涨落可以稍微改变一个力对距离的依赖性,这对强大的核力有着巨大的影响。

斯特拉斯勒说:“它阻碍了这种力量在远距离上的减少,使它捕获夸克,并将它们结合起来形成质子和中子。”凯伦-西蒙兹克方程所做的是将这种戏剧性的、难以计算的效应联系起来,这在‘距离’大致等于质子大小时很重要,在‘距离’远小于质子时,可以测量的效应更微妙但有也更容易计算。”

最小曲面方程


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威廉姆斯学院的数学家弗兰克·摩根(Frank Morgan)说:“当你把线圈浸在肥皂水中并形成了肥皂膜时,最小曲面方程以某种方式编码了这美丽的肥皂膜。”事实上,这个方程是“非线性的”,方程中包含了导函数的幂和积,这个方程是关于肥皂膜某张神奇现象的编码数学提示。这与热方程、波动方程和量子物理的薛定谔方程这类更为常见的线性偏微分方程形成了对比”

欧拉线


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纽约数学博物馆的创始人格伦·惠特尼(Glen Whitney)选择了另一个几何定理,这个定理与欧拉线有关,欧拉线以18世纪瑞士数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉的名字命名。

“从任何三角形开始,”惠特尼解释说。“画出这个三角形的外接圆并找到它的圆心(外心)。先找出三角形的重心——即当三角形从纸上剪下时,三角形会在一个大头针上保持平衡的点。画出三角形的三条高(从每个角到另一边的垂直线),并找出它们都相交的点(垂心)。这个定理表明,你刚才找到的三个点都位于一条直线上,称为三角形的“欧拉线”。

惠特尼说,这个定理概括了数学的美丽和力量,它常以简单、熟悉的形状揭示匪夷所思的规律。


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