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从“雪花为什么是六边形”到“美术、建筑和哲学中的图形”

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-14 22:20:45 906 1 图形几何

学过几何的人,大抵对几何证明深恶痛绝,绕来绕去的图形和线段,简直让人眼花缭乱。

当年我上学的时候,虽然对几何比较擅长,证明题至今仍然记得很多,然而,要想将这些技巧和知识转化成教授给学生们的语言,自然还是需要费劲一番脑筋的。我认为,想要攻克它,应当得从图形的本质开始着手。

图形的本质是什么?最初人类发现图形的时候,图形其实是从生活中的各种现象中总结出来的。因此,想要弄清图形的本质就应当继续回归到生活中去循迹。而这本书恰巧也是遵循了这个思路,与我的想法不谋而合。只不过,全书是以“雪花为什么是六边形”这个问题进行展开,而我的问题则更多:

1) 埃舍尔的画为什么充满了数学感?

2) 伊斯兰建筑上的图形如何解读?

3) 五角星、圆形、条纹;对称、旋转、连续,它们存在本质上的联系吗?

埃舍尔:飞鸟与鱼

小学课本上令我印象最深的画作之一是荷兰画家埃舍尔(Maurits Cornelis Escher)的作品。其中一幅上方飞着鸟,而到下方就变成了鱼,神奇之处不是飞鸟居然变成了鱼,而是变得过程让人很难看出痕迹,让人感叹,飞鸟与鱼居然如此相近。

从“雪花为什么是六边形”到“美术、建筑和哲学中的图形”

图片来自网络

那么,飞鸟与鱼究竟如何产生了图形上的关联呢?

回到原画,我们可以发现:飞鸟脖子的弧度恰巧是鱼的脊背的弧度;飞鸟的尾巴,恰巧是鱼的尾巴的弧度;而飞鸟的翅膀与屁股,恰巧与鱼嘴和面部相吻合;而鱼的尾巴,很巧合地与飞鸟的尾巴与翅膀相对应。

这种图形上的关联不易发现,就像地球板块漂移学说那样,如果不是善于发现图形关联的魏格纳,恐怕培根、修斯等人的推论至今仍然很难让人们信服。各大洲的图形关联虽然不能作为绝对性的论断证明,但作为助攻型选手,似乎其重要性已经超过了其他任何能够证明板块漂移学说的依据。我想,这恐怕也就是图形的魅力。

在数学和几何的知识范畴内,以及日常生活中,这样的图形贴合也经常见到。比如七巧板的拼凑,比如铺地砖,比如货物的装箱。回到数学和几何的层面,其实研究的核心问题是如何划分圆周的问题。

想要地砖铺的毫无缝隙,那么拼接的图形的连接点就必须是360度。比如可以是4块正方形,正方形四只角的角度是90度;也可以是正六边形,其角度为60度;又或者是“工”字形,由两个90度和1个180度组合而成。而飞鸟与鱼,其实也是如何组成圆周的问题,只不过这个时候,再是以测量度数着手,而是从整体来看待无缝拼接这件事情。

《迷人的图形》这本书整体浅显易懂,对于那些有一定几何基础的人来说,可能显得不值一提。然而,我觉得这本书的最大魅力之一便是从生活中挑选出常见的、看似没有关联的图形进行分类总结,然后从数学的角度归纳其中的一般规律,使得人们看待日常生活中的普通事物有了另外一个角度的理解,而这种理解,往往让生活变得简单易懂且活泼有趣。

伊斯兰建筑纹样:对称与连续,圆与方

但凡去过伊斯兰地区旅行的人都对伊斯兰的建筑和其上的纹样产生深刻印象。不论是门楣、苍穹亦或是庭院,随处可见的纹样让人感到繁琐,但繁琐之中又让人感到美丽。这是为什么呢?

从“雪花为什么是六边形”到“美术、建筑和哲学中的图形”

伊斯兰建筑的规律:宏观层面来看,整体纹样是对称的;细部以旋转对称为主;连续型图案以装饰和分割图案为主。

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伊斯兰建筑纹样的另一个特征是:旋转对称纹样以圆形或近似圆形的正多边形为主,连续型纹样以方形或线性分布为主。

《迷人的图形》中花了很大的篇幅来介绍对称,它把对称分为镜像对称和旋转对称。前者指的是沿着一条线左右对称,也就是数学书上所说的“对称”;而后者则指的是以中心原点为基础,旋转固定度数之后能够与原图重合,也就是数学书上所说的“中心对称”。这样一来,伊斯兰建筑的纹样便很好去理解了。

从几何角度来看,伊斯兰建筑上的纹样主要分为对称与连续两种。其中,对称分为如上所述的镜像对称与旋转对称。从宏观层面来看,伊斯兰建筑强调左右对称,大门开在正中间、窗户左右以相同的数目排开、大门的纹样左右两扇完全相同。而从建筑细部来看,花草和几何纹样均遵循旋转对称的方式排列,尤其是穹顶的设计最为典型。

此外,连续也是常见的纹样形式。所谓的连续,指的是某种图案连续循环出现,视觉上极易看出其中的相同与重复。不过,可能由于连续型的纹样不具有创新意味,并且难度比较低,因此仅仅分布在门框等旋转对称图形的边缘,起到一种分割区域和装饰的作用。

学习了这些知识,再回头看伊斯兰建筑上的纹样,也就有了更新的发现。比如,镜像对称的图形常常是从整个建筑层面来看的,窗户与窗户的对称、门与门的对称、宣礼塔与宣礼塔的对称;旋转对称,通常作为纹样的主体,分布在建筑上的所有重要图案上;而连续型的图案,则仅仅作为次要装饰,即便是有时候与旋转对称相结合来呈现,也依然仅仅起到辅助装饰的作用。

另外,由于旋转对称的图形往往以圆形为主,因此我们在看伊斯兰建筑的时候,总觉得其中“团花”类型的图案特别多;而方形的图案,主要集中在建筑或者的边缘,以连续类型的图案为主,占据极少的比例

分形与混沌:图形的哲学与未来

人类与动物走路所留下的足迹,看起来不是对称,但因为左右脚连续交替,其实也是一种特殊的几何图形。不过,相比于脚的形状,似乎脚步随着时间而产生的线性关系更让人着迷。

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脚步从数学的角度可以理解为两条连续重复的图案,中间被一条看不见的线条分隔开。

如果说,点、线、面构成了图形的基础,那么,加上时间这个维度之后,情况可能更加有趣。如果把左脚和右脚的连续出现看成是两个连续类型的图形并排放在一起,那么,两脚中间那条看不见的线便是两个图形的分割线。如果这条分割线继续延伸下去,会是什么样的呢?

以前听过一种说法,迷路的人,即便是一直往某个方向走,最后还是会走成一个圆。我记得,当时给的理由是说人在走路的时候,虽然看起来双脚迈的步伐是一样长的,但其实存在着细微的差别。可是,没有人进一步解释,为什么会出现这种细微的差别。

从“雪花为什么是六边形”到“美术、建筑和哲学中的图形”

《迷人的图形》这本书的一个很大的遗憾是将这种细微的差别归结为基因或者是宇宙的自然规律,也就是说,没有为什么,大自然本来就是这个样子,作为其中的一个极其微小的组成部分,我们自然逃脱不了大自然的束缚。

这么说,也对,也不对。对的地方在于,的的确确,人类的大部分行为都是受到自然演化影响的结果;不对的地方在于,如果仅仅归因于自然选择,那么听起来似乎有一些简单、随意或者是悲观。

于是,作者尝试着去讨论一些关于宇宙未来的东西,也许我们能从宇宙的未来或者更高视角的层面再次审视我们周围的图形。

比如黑洞、白洞和虫洞的理论,假使它们真的存在,那么,是否会影响地球上现有图形的表达,或者是否会出现更高维度的图形?而想要猜测这些,是不是可以从现有的图形上寻找灵感?比如,人类的外貌和身体整体上是对称的、大自然界中的生物大多也是对称型的,白洞就是人们根据黑洞推测出来的理论。植物虽然看起来不是对称的,但其实也是有规律的,每一段树枝,看起来都是一整棵树的形状,人们将此称为分形,并在河流支系的分布、雷电的形状等地方发现了类似的图形。那么,宇宙本身是否也是对称、旋转、圆形、球形或者是分形的呢?

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每个树枝,单独拆开来看,仍然是一棵树的形状。人们将这种现象称之为“分形”。

如果上述的猜想是正确的,那么,这就不仅仅是物理或者数学层面上的问题了,而是一种哲学层面的意义。

事实上,从生活中的这些图形上,人们也的确预测到了一些将来可能发生的事情。最简单的例子莫过于天气预报和台风路径。它们看似毫无规律,但通过分析影响它们的因子,人们仍然可以准确预测它们接下来的走向。人们将这种看起来毫无逻辑和秩序的形态称之为“混沌”,它与分形一起,被认为是继相对论和量子力学之后的20世纪物理学的第三次革命。

也许它的下一步将是地震预报,也许它的下一步会是更遥远的星辰和大海,然而不论它的下一步是什么,或许在我们所在的星球之上、我们生活的周遭,都能找到与它们相似的“迷人的图形”。


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