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著写最早几何学集大成之作,欧几里得曾是怎样影响世界的?

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-11 22:37:47 2717 1 几何古代数学

几何学是数学中一个基础分支,应用于人类许多领域。我们需要用几何学来测量东西、理解形状,并对我们所居住的这个空间进行度量。

但是几何学并不仅限于此:它与人类思想和生活的各个方面都相互作用,许多文化中都有它的发展。

首先,让我们看下被称为“几何之父”的人:古希腊数学家欧几里得(Euclid)。欧几里得的工作是我们拥有一种对于几何的系统性方法的最早例子。当你在几何学中做出一般性陈述时,例如毕达哥拉斯定理(勾股定理),您应该证明这个陈述是从你认为是不证自明的陈述中通过逻辑规则推导得到的。2000 年以来,这种欧几里得的系统性方法似乎证明了关于几何形状的真理,从而实现了确定性。

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▲ 欧几里得, Justus van Gent 在 15 世纪所描绘(图自维基)

欧几里得的严谨

后来许多重要的思想家认为,只要其他学科遵循相同的方法,其他学科可能就会也具有几何的这种确定性。例如,勒内·笛卡尔(René Descartes)说,如果我们从不证自明的真理(也称为公理)开始,然后在逻辑上从这些公理中推论出越来越复杂的定理,那么我们将无所不知。哲学家本尼迪克特·斯宾诺莎(Benedict Spinoza)甚至撰写了《伦理学——用几何原理进行的论证》(Ethics Demonstrated in Geometrical Order),其中明确标明了公理和定义。他宣称要证明上帝的存在,就像数学家所做的那样,用 QED(拉丁文, quod erat demonstrandum),表示证明完毕。出现在数学证明末尾,代表证明的结束符)结束了该数学证明。

在科学上,艾萨克·牛顿的代表著作《自然哲学的数学原理》清楚地说明了欧几里得的影响。牛顿称其著名的运动定律为“公理”,并以两个数学定理的形式推导了他的万有引力定律。正如牛顿所写:“从那么少的原理中就推出很多,这是几何学的荣耀”。

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▲ 《自然哲学的数学原理》拉丁版封面(1687) (图自维基)

这里还有一个欧几里得影响力的例子。《美国独立宣言》设计成通过使用欧几里得的形式来激发人们对其确定性的信念。托马斯·杰斐逊(Thomas Jefferson),一个当时比任何其他美国总统对数学都懂得更多的人,这样开始他的论述:“我们认为下述真理不证自明:人人受造而平等……”这份宣言中还有其他不证自明不证自明的真理,他使用了“证明”一词,紧接着开始推论出美国建国的宣言实际上是一个逻辑推论的结论:我们因此……同时庄严宣布:这些联合一致的殖民地从此成为、而且按其权利必须成为自由独立的国家……”。

因此,在哲学、神学、科学和政治学领域,这一理想化的欧几里得推理模型塑造了证明、真理和确定性的概念。

欧几里得几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的真命题。它的前四个公理(公设)是:

  1. 从一点向另一点可以引一条直线。

  2. 任意线段能无限延伸成一条直线。

  3. 给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。

  4. 所有直角都相等。

欧几里得的公理

在探讨欧几里得几何的影响之前,让我们看一下他建立此几何推理的假设。在上面的四个公理中。这些是显然成立的,没有人会怀疑。但是还有第五个,称为平行线假设:如果落在两条直线上的一条直线使同一侧的内角之和小于两个直角,则这两条直线(如果可以无限延伸)在该侧相交。

不好理解?这是一张说明它的图片:

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▲ 如果 和 的内角和小于 ,则两直线不断延伸,在这一侧相交(图自维基)

有时,我会让学生对“这一公理是否是不证自明?”的进行投票,他们绝大多数都认为不是的——甚至想要理解它都必须画一幅图才好。但是,如果这不是不证自明的,那也许就不应该将其视为自明之理,而应从其他假设中证出。希腊人曾试图这样去证明,但他们失败了。中世纪的伊斯兰和犹太数学家,以及 17 世纪和 18 世纪的欧洲的数学家也都失败了。

然而,希腊人成功证出的是,第五个假设在逻辑上等价于“平行线的唯一性”:在同一平面上,给定一条直线 和一个点 ,只有一条过点 且平行于直线 的线。

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欧几里得与物理学

欧几里得从未谈论过他的几何形状所在的空间,但他似乎隐含地认为它是一个无限大膨胀、在所有方向上都是相同的、并且每个点都与其他点相同的空间。

后来的思想家,尤其是从文艺复兴时期开始的思想家,谈论了很多关于空间的话题。他们同意这些早期的假设。空间就应该是这样的这个想法来自充足理由原理,乍一看似乎很明显:对于所有的一切东西,肯定有一个理由使它必须是这个样子而不是其他样子。

该原理至少与阿基米德一样古老,它使我们能够解释周围世界的事物。这里有个例子:我们是如何知道在与支点相等距离处具有相等权重的杠杆必须平衡的呢?好吧,那为什么不平衡呢?杠杆没有理由在任一侧都下降:因此它必须在任一侧均不下降;因此平衡。

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▲ 与支点等距离且等重的杠杆必须保持平衡

充足理由律是逻辑学基本原理之一,由 17 世纪德国数学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)提出。人们在科学推理中,由于依赖的是不证自明的公理,所以,如果没有充足理由律,结论就可以导致两种自相矛盾的东西。莱布尼兹认为上帝在创造宇宙时使用了这个原理和逻辑法则。而且由于上帝是理性地创造了它,所以我们人类可以把它弄清楚。

人类理性可以理解宇宙的一个引人注目的例子就是牛顿第一运动定律,该定律最早其实由笛卡尔和皮埃尔·伽桑狄(Pierre Gassendi)独立发现过。他们是这样推导的:没有受到作用力的运动物体以恒定的速度继续沿直线运动。为什么呢?物体会继续沿一条直线运动,因为它没有理由转向其他方向,所有方向都是一样的。它以恒定的速度运行,因为它没有理由加速或减速:空间中的所有点都是相同的,因此物体没有理由偏向于一点。类似的论断是一个静止的物体如果没有力作用在其上,它将保持在原处。

充足理由律是一个很有力的原理,它似乎表明我们生活的空间就像欧几里得几何空间一样。因此,毫不奇怪的是,17 和 18 世纪的思想一直受到是欧几里得影响。例如,牛顿的物理学隐含地依赖于欧几里德的第五条假设。理解这个需要用到你在学校学的力的平行四边形。要证明平行四边形的特性,需要欧几里得的平行线理论,因此需要第 5 个假设。

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▲ 力的合成遵循平行四边形法则,红色箭头表示两个力共同作用的最终效果

这就是为什么 18 世纪的数学家如此关心证明平行公理的原因。这非常重要;不仅几何,而且所有科学都依赖于它。数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)给出了一个有趣的例子:他试图用充分理由原理来证明第五种公理,这一尝试令人印象深刻。遗憾的的是,他的论证是有缺陷的,不过这是一个重要的事实,就是,如此重要的一位数学家也愿意在公开发表研究的论证出来,并将欧式空间和充足理由律联系起来。

欧几里得与哲学

哲学同样被欧几里德的思想所渗透。超级有影响力的哲学家伊曼纽尔·康德(Immanuel Kant)说,所谓的空间是我们心中存在的东西,我们每个人心中都有相同的独一的“空间”。事实证明,对于康德来说,这个空间必须是欧几里得空间。

为了论证我们可以了解有关非物质事物的复杂真相,康德使用了欧几里得的证明,即三角形的内角和为两个直角。证明使用了几何构造方法。您在哪里构造这些?不在纸上——几何与物理性的三角形或直线无关。康德说,您是在自己脑海中创造出它们的。

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▲ 三维欧几里得空间中的每个点由三个坐标确定(图自维基)

实际上,欧几里得的证明需要第五个假设。因此,这个关于角度之和的定理要求空间为欧几里得。康德没有说这个,但他确实说只有一个空间。因此,对于康德而言,似乎没有其他的替代欧几里德的想法。

伏尔泰是另一个视欧几里德空间为真理的哲学家。他赞同了 18 世纪的普遍观念,即普遍认同是真理的标志。他说:“几何学上没有宗派。没有人说'我是欧几里得学派,我是阿基米德学派。' 你证明了一个真理,那么全世界都会聆听你的意见。” 对于伏尔泰来说,数学就是例证,道德也应该如此!伏尔泰写道:“只有一种道德,只有一种几何。”

因此,这就是 18 世纪的世界,一个相信充足理由律的世界:对称,平衡,基于自我证明和必要真理,嵌入了欧几里得空间。人们可以理性地推导解决所有问题。

欧几里得的几何形状是公认的完美知识权威模型。到底是不是呢?(在另外一篇文章中,我们将进入另一个几何新世界)


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