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为什么要懂点统计学?从保费确定到赌场都离不开它提供决策支持

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-26 11:39:26 919 2 统计

在现代行业当中,统计学有丰富多彩的应用场景,比如说保险问题、赌博问题、抽样调查。通过下面的文章我们将了解统计学体现在实际生活中的重要作用。

为什么要懂点统计学?从保费确定到赌场都离不开它提供决策支持

如何确定保险费用

抽样调查是一种最基础的统计理论应用情景,统计学在保险行业、信贷行业的应用要更高深一些,不过,它们都紧密依赖于这样一条结论:当样本足够大时,样本均值将落在总体均值的附近。当样本量趋于无穷时,样本均值与总体均值的差将无限小。

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比如在测量某栋楼的高度时,可以重复测量多次,取多次测量的均值作为该楼的高度,以尽量消除每次测量时的误差,使结果尽可能接近真实值。再比如歌唱比赛中总是将多个评委评分的平均值作为选手的最后分数,也是为了消除评委的个人喜好。

统计学不但精确的推导了这一结论,同时还给出了样本个数和误差之间的关系。如果记 X 为样本均值,E(X) 为总体均值,D(X) 为总体方差, 为一个非常小的正数,就有如下不等式成立

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其中 P{Q} 表示事件 Q 的概率。根据该不等式,样本均值与总体均值的误差与总体方差有关,它小于 ε 的概率总是大于等于 。由于方差和 ε 都是正数,因此这个概率就小于 1。

我们希望样本均值与总体均值足够接近,即 ε 足够小时,不等式 |X-E(X)|<ε 仍成立。而且这件事发生的概率要尽量大,即,尽量保证每次抽取样本时,样本均值都与总体均值足够接近。

当 D(X) 固定时,ε 变小,就会令 1-D(X)/ε² 变小,因此,这两个要求没办法同时满足,我们只能尝试寻找一个最佳的 ε,使样本均值与总体均值的误差不至于太大,且发生概率不至于太小。

提示:这个公式还指出另一个重点结论,即无论总体是什么样子的,样本的均值都会接近总体均值。例如,对于重点学校来说,学生成绩可能普遍会高于七十分,对于普通学校来说,学生成绩可能集中在六十分到八十分之间。但无论是哪所学校,只要抽取该学校一部分学生的成绩,其均值都可以代表该学校全部学生的成绩均值。

在生活中,这一公式的应用十分广泛,最常见的就是保险行业中的应用。在现实中,保险公司会根据投保人的年龄、以往病史等信息确定投保人的具体保费,虽然不同投保人的保费不一定一致,但由于投保人过多,全体投保人的赔偿金额就会稳定在某个值附近。只要全体投保人的平均投保金额高于这个值,保险公司就是挣钱的。

在信贷行业中也是如此,申请贷款的客户有许多,全体客户的平均偿还金额是稳定的,只要平均偿还金额高于平均贷款额,银行就是盈利的。固然,有些客户会破产,不能偿还贷款。但只要大多数人能够偿还,就能够保证银行盈利。

换句话说,银行并不关心具体是谁会坏账,它关心的是全部客户的均值。只要贷款的人足够多,且贷款金额足够小,大数定理就一定会起作用。因此,银行不用在众多办理小额贷款的人身上花费许多精力去评估他是否会坏账,只需针对办理大额贷款的客户进行严格的评估,这样便可节约成本,并保证盈利。

从统计学的角度看博彩

尽管保险公司从投保人身上攫取了不少利润,但保险总归挽救了许多破产家庭。而另一种同样依靠统计学理论盈利的行业却使人深恶痛绝,这种行业就是赌博。

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福利彩票也可看做赌博的另一种形式。在开彩之前,一张彩票是否中奖是未知的,不过,彩票的中奖概率都是公开的。以最流行的福彩 6+1 为例,特等奖的中奖概率为一千二百万分之一。

将购买彩票看做一个随机事件,那么这个随机事件就有两种结果,要么中奖并且得到五百万奖金,要么没中奖。表 1 列出了这两种结果,以及它们对应的概率。根据表 1,可以计算得到购买彩票的期望就是 0×19999999/12000000+5000000×1/12000000,结果约为 0.42。也就是说,购买一注价格为两元的彩票,能够得到的平均回报是四角二分。

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表 1 福彩 6+1 特等奖中奖概率

由上面一小节介绍的公式可知,购买的彩票越多,得到的平均回报就越靠近 0.42 元这个值,也就是说,亏损的越多。

考虑到特等奖的中奖概率过小,因此彩票公司设置了等级不同的一些奖项,奖金小的中奖率稍微高一些,以刺激彩民的购买意愿。

以福彩 6+1 为例,它一共有六种奖项,奖项等级越低,奖金越少,中奖概率越高。

表 2 是这六种奖项的中奖概率以及对应的奖金。彩民平均每买二十张彩票,就会中一张六等奖,这给人造成一种中奖也很容易的感觉,不过,这是否意味着买彩票是一个合算的买卖的?

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表 2 福彩 6+1 中奖概率

不妨计算一下福彩 6+1 的中奖期望。将每一个奖项的奖金与得奖概率相乘后求和,即可得到其获奖期望:

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计算结果约为 1.45 元。由此可知,不管中多少注奖金,只要持之以恒地买彩票,最后的结果一定是赔。

提示:已有许多张彩票没中奖,下一张一定会中奖的。这是彩民的另一种常见错觉。实际上无论之前的中奖结果如何,下一张彩票的中奖概率都是不变的,考虑到彩票发行数量过大,彩民已持有的彩票对其他彩票的影响几乎是微乎其微的。

除去彩票,其他任何赌博项目都符合这些结论,即平均回报一定低于赌金,无论之前失败过多少次,下一次的获奖概率都不会有所改变。而赌博次数越多,真实的平均回报就越接近理论上的平均回报,由此便可明白为何赌场禁止单次赌博金额过高,这并不是在保护你的财产,而是害怕出现小概率事件,赌客赢走巨额奖金。

上文节选自北大出版社《别怕, 统计学其实很简单》


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