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“圆”来如此——关于圆周率 π 的36 个有趣事实

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-26 11:33:26 614 2 圆周率

“圆”来如此——关于圆周率 π 的36 个有趣事实

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在所有数学符号之中,圆周率 π 也许是最神秘、最吸引人的了,数学家通常认为 π 是数学中最为重要且最为有趣的常数。

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π 是希腊语“周长”(περίμετρος)的开头字母。在数学中符号 π 代表圆周长与其直径的比值。换句话说,π 就是把圆的直径扩张成其周长所需要的倍数。

“圆”来如此——关于圆周率 π 的36 个有趣事实

▲ 圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为 π

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因为人们不可能知道 π 的精确值,所以也永远无法测量出一个圆的周长或面积的真正数值结果。π 是一个无理数,这意味着它的数字被认为是随机的顺序排列(至今未能证明)。

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圆周率是由古代最伟大的数学家之一,锡拉库扎的阿基米德 (Archimedes,公元前 287-212 年) 首先透过正多边形的几何算法严谨计算出来的。所以有时 π 也被称作阿基米德常数。据说阿基米德全神贯注于他的工作,没有注意到罗马士兵已经占领了这座希腊城市。当一个罗马士兵走近他时,他用希腊语喊道:“不要碰我的圆圈!”。罗马士兵砍下了他的头,随后继续前进。

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▲ 《阿基米德之死》 (1815年,Thomas Degeorge画作),图自维基

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《圣经》列王纪上第 7 章 23 节就提到了圆周率,在描写所罗门圣殿里的祭坛时写道:“他又铸一个铜海,其高十肘,其径十肘……其围三十肘。”有些学者解读为这表示 pi 的值是 3。

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古代数学家们尝试通过在圆内刻画出边数越来越多的多边形来逼近圆,以计算出更精确的圆周率值。阿基米德曾使用过一个 96 边形。我国曹魏时期的数学家刘徽先后构建出了一个 192 边形和一个 3072 边形,成功将 pi 值精确到 3.1416。祖冲之在公元 480 年利用割圆术计算 12288 形的边长,得到 π≈355/113(现在称为密率),其数值为 3.141592920。在之后的八百年内,这都是准确度最高的 π 估计值。

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许多数学家认为,与其说一个圆没有角,不如说它有无限多个角。

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在《星际迷航:Wolf in the Fold》一集中,斯波克 (Spork) 通过命令超级计算机算出圆周率的最后一位数值,阻止了这台邪恶的计算机。

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在卡尔·萨根 (Carl Sagan) 的科幻小说《接触》(Contact) 中,科学家选用十一进制来解析 π,而当计算到了 10^20 之后,π 就只是一连串 0 和 1,在这里隐藏的是来自于人类造物主的密码讯息。

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▲ 电影《接触》剧照

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达伦·阿罗诺夫斯基(Darren Aronofsky)的惊悚电影《圆周率》之混沌的信仰 (Pi:Faith in Chaos) 描述了主人公如何致力于寻找 π(乃至宇宙)的终极数学模式,进而陷入疯魔的故事。这部电影在 1998 年的圣丹斯国际电影节上为他获得了剧情片导演奖。

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几个世纪以来,埃及考古学家和神秘主义追随者一直痴迷于胡夫金字塔暗藏的圆周率之谜。因为该金字塔的塔基周长和高的比例是 1760/280,离 2π 只有小于 0.05%的差距。

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约公元前 1650 年,一位名为阿姆士的埃及书记官在他所写的《莱因德数学纸草书》(Rhind Mathematical Papyrus) 中收录了有关 π 的描述,其中还有对 π 的简单计算,所得值为 3.1605。这是已知最早的有关圆周率的记录之一,这份记录与圆周率的近似值 (3.141592) 相差不到 1%。

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在符号“π”广泛使用之前,数学家们通常要绕着圈子费力地描述圆周率。例如称其为“以径倍之为周者”(拉丁短语:quantitas, in quam cum multipliectur diameter, proveniet circumferential),意思是“乘以直径等于周长的数”。

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从数学意义上讲,pi(π) 这个符号从诞生到传播开来仅有 300 年的历史。威尔士数学家威廉·琼斯 1706 年出版的《新数学导论》才提出使用字母 π,而后由莱昂哈德·欧拉在其数学著作中确立并推广了 π,于是符号 π 作为圆周率在 18 世纪开始在全球普及使用。

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德国数学家鲁道夫·范·科伊伦 (Ludolph van Ceulen,1540-1610) 一生中的大部分时间都在计算圆周率的前 36 位精确数字(故而 π 在德国也被称为鲁道夫数 Ludolphine Number)。据传,这些数字被刻在他已经遗失的墓碑上。

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π 只需四舍五入取到小数点后第九位,就可以计算出近乎精确的地球周长,误差不超过 1/4 英寸。利用小数点后 39 位足以计算出已知宇宙的周长,误差不超过一个氢原子的半径。

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1995 年,日本人友寄英哲记忆圆周率至小数点后第 42195 位,认定为背诵圆周率的吉尼斯世界纪录。部分学者推测,日语比其他语言更适合记忆数字序列。此记录于 2006 年被西北农林科技大学学生吕超打破,他不间断无差错背诵圆周率至小数点后 67890 位。 2015 年 3 月 21 日,印度韦洛尔的拉杰维尔·米纳花费了 9 小时 27 分钟内背诵了 7 万个圆周率的小数位。

据英国《卫报》报道,还有一位非官方记录保持者,日本千叶县的原口证,他在 2005 年录制了自己背诵圆周率小数点后 10 万位的视频,最近更是突破了 11.7 万位。

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圆周率小数点后前 144 位数字相加的和是 666。而这个数字在西方文化中则表示魔鬼的数字,因为在《圣经·启示录》中,666 是兽名数目。

444 则是天使的数字,因此在西方,444 是吉利的数字,666 则是视为不吉利的数字。

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化圆为方(squaring the circle) 这一方法的标新立异吸引了众多数学家。传统观念中,圆是无限的、不可估量的、更是精神世界的代表,而正方形代表的却是精确的、可被测量的认知世界。

推荐 [遇见数学翻译小组] 视频:《尺规作图三大难题之一:化圆为方》

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英国业余数学家威廉·山克斯 (William Shanks,1812-1882) 花费多年时间手工计算到圆周率的小数点后 707 位。但很遗憾,他在第 527 位之后就犯了一个错误,因此,后续的数字也都是错误的。

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16 世纪之后,π 的计算开始改用无穷级数的计算方式,微积分创始人之一的艾萨克·牛顿 (Isaac Newton)就曾利用反正弦数列将圆周率计算到小数点后 15 位小数。

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▲ 当数学家发现新的算法、电脑变得普及时,π 的已知小数位呈指数增加。注意垂直坐标使用了对数坐标

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1735 年,欧拉解决了著名巴塞尔难题,这个问题难倒了欧洲之前很多著名数学家。它要求的是精确计算所有平方数倒数的和为何?欧拉最终发现了结果与 π 的奇妙联系,并一战成名。

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1761 年,瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式证明了 π 是无理数。而 1882 年,数学家林德曼证明了 π 为超越数,因此也证实化圆为方问题仅用尺规是无法完成的。

推荐 [遇见数学翻译小组] 文章:《世界上第一个证明 π 是无理数的方法—高中生也能理解》

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在 2019 年圆周率日那天,谷歌工程师利用云计算更是计算到小数点后 31.4 万亿位,就是 10^13 精度,刷新了一项新的世界记录。

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在阿尔弗雷德·希区柯克导演的电影《冲破铁幕》和奥斯卡影后桑德拉·布洛克主演的《网络惊魂》中都将圆周率当做重要的密码在屏幕上出现。

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人类对圆周率的研究已经有近 4000 年的历史了。公元前 2000 年,巴比伦人确立了 3 又 1/8 或 3.125 的圆周率近似值。古埃及人得出的数值略有不同,为 3 又 1/7 或 3.143。

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1888 年,印第安纳州一个名为埃德温·古德温 (Edwin Goodwin) 的乡村医生相信自己已证明了试图化圆为方问题, 于是想通过印第安纳州议会来获取专利。并且此法案中间接应用了圆周率等于 3.2 这一错值。该法案实际上已经全票通过了印第安纳州众议院的表决(67:0),但恰巧当时普渡大学教授 C·A·沃尔多在场旁听了整个过程。他当时在旁大吃一惊,于是赶在送交印第安纳州参议院前就向议员们普及数学知识,最后此法案被提议无限期推迟审议。

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π 的前一百万个数字位中没有出现“123456”这一序列——但出现了八个“12345”的组合,这八次中有三次后面都紧跟着另一个“5”。“012345”这个序列出现了两次,每次后面也都紧跟着另一个“5”。

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圆周率的前一百万小数位由 99959 个 0,99758 个 1,100026 个 2,100229 个 3,100230 个 4,100359 个 5,99548 个 6,99800 个 7,99985 个 8 和 100106 个 9 组成。

推荐 [遇见数学翻译小组] 视频:《圆周率 100 万位打印出来有多长?》

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17 世纪,人们发现某些曲线面积也可以用圆周率来表示,例如拱形和圆内旋轮线,圆周率进而走出圆形,应用于其他曲线中。二十世纪,圆周率已经被应用于诸如数论、概率论和混沌理论等多种领域。

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大卫·波尔(David Boll)在1991年发现在曼德博集合分形中也有 π 的出现 。他检查在曼德博集合在(-0.75,0)位置的特性。若考虑坐标在“颈部”(-0.75ε,)的点,而 ε 趋近于零,在发散之前迭代的次数和 ε 相乘,会趋近于 π。若是在右侧尖点处附近的点 (0.25,ε) 也会有类似的特性:在发散之前迭代的次数和 (0.25,ε) 的平方根相乘,也会趋近于π。

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▲ 可以从曼德博集合中计算π,计算方式和计算从(0.25, ε)点开始,一直到发散之前的次数有关

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圆周率的前六位数字 (314159),在 π 的前 1 千万个小数位中至少整体出现了六次。

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每年的 3 月 14 日定为“圆周率日”(因为它代表 3.14)。庆祝活动一般会从下午 1:59 开始,日期与时间共同组合成一个完整 3.14159。

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▲ 物理学家赖瑞·萧及组织的旧金山探险家科学博物馆 Pi Day 环形游行

在 2019 年联合国教科文组织第四十届大会上正式宣布每年的 3 月 14 日是“国际数学日”。今年 2020 年的圆周率日为首届国际数学日。

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阿尔伯特·爱因斯坦 1879 年 3 月 14 日 (圆周率日) 出生于德国符腾堡州乌尔姆市。这一天也是英国宇宙学家史蒂芬·霍金(2018 年 3 月 14 日)和德国思想家卡尔·马克思(1883 年 3 月 14 日)的忌日。

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可以在"我的派日"这个网站来找出自己生日在 π 中出现的位置,按照 mm / dd / yy 格式输入即可。

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▲ mypiday·com

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有学者认为,人类生来就是为了发现这个世界的运行模式,因为这是赋予世界和我们自己存在意义的唯一方式。因此,人们着迷于寻找圆周率中的规律。


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