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数字真奇妙——四和八的方方面面

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-25 18:53:28 404 2 数字

数字真奇妙——四和八的方方面面

本文作者刘瑞祥,[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持!

本来想先和读者闲聊一下 4 和 8 的,但是写完以后发现文章太长了,还是闲话休提,只说正事,下面内容主要和 4 有关,间或有 8。

一、算术和代数

关于4有个很有意思的等式,即 2+2=2×2=2²=4,三个不同优先级的式子居然都等于 4,好玩。4还是最小的合数,而且在费马猜想中,n=4 是唯一一个需要单独证明的合数。据说当年费马可能已经证明了n=4的情形,这让他自以为“已经找到了这个命题的真正证明”只是因为“空白太小写不开了”。这个证明用的是费马自创的“无穷下降法”,过程如果写在这里会显得很繁,所以就不列出了,请大家自行查阅有关资料。

4 还是具有求根公式的多项式方程的最高次数,但是求根公式很复杂,手动计算基本不可能,也没有必要,当然你可以用计算机编程来计算。而缺少三次和一次项的四次方程——也叫做双二次方程——却可以通过换元法转化为二次方程进行求解,这就容易多了。可以证明,任何形如 ±√a±√b 的数(a、b 都是正有理数,且开方后至少有一个是无理数)都是整系数双二次方程的根。证明起来很简单,大家要不要试一试呢?

数字真奇妙——四和八的方方面面

纪念哈密尔顿邮票

数学里有一种对象叫做“四元数”,形式上包括一个实数部分和三个不同的虚数部分:

数字真奇妙——四和八的方方面面

这是著名的哈密顿发明的,据说他的动机是看到了复数的重要作用,觉得“既然引入一个虚数部分很有用,那么引入两个会不会更有用呢?”结果他总是失败,原因是弄不好这个新数的乘法,后来他终于恍然大悟,不是引入两个而是引入三个虚数部分,而且放弃了自古以来被视为天经地义的乘法交换律才搞定。遗憾的是,四元数似乎并没有太大的作用,大概是因为矩阵已经可以代替它了吧。在四元数以后数学家还创造过所谓的八元数,就是一个实数部分带七个虚数部分,连结合律都不遵守了,用途更少了。

二、传统几何中的 4 和 8

传统的平面几何中,四点共圆是一种重要的几何模型,因为这里面既有长度关系又有角度关系,在证明题中常用来转化长度和角度。这一模型使用灵活,而且其中的圆往往不是真实出现,只是一个辅助圆,所以难度也不小呢。这方面的典型例子是“三角形三条高线交于一点”的一个经典证明。

数字真奇妙——四和八的方方面面

PA×PC=PB×PD,∠1=∠2

在平面几何中,重要的四边形是平行四边形,以及各种特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。

立体几何中,有几种重要的多面体带有“4”和“8”,比如最基本的几何体——三棱锥有四个面、平行六面体有八个顶点,以正方体的各面中心为顶点可以得到正八面体,而金字塔则是正四棱锥,如此等等。

三、四维空间

四维空间是科幻、科普作品中的常客,也是人类无法凭直觉把握的东西。这些年刘慈欣的《三体》大火,其中第三部就描述了四维空间的景象。我很佩服他的想象力,虽然知道肯定是有“硬伤”的。

本文不再谈四维空间和相对论等等的关系了,事实上我也没有那个能力,下面只谈一条几何公理:若两平面a和b有一公共点A,则它们至少还有一公共点B。这在希尔伯特的《几何基础》中被列为结合公理的第七条,即I7。希尔伯特说这条公理表示空间不能多于三维,但没有具体论述。实际上,如果空间是四维的,建立坐标系,设其中一个平面的方程是 w=x=0,另一个平面的方程是y=z=0,容易知道这两个平面的公共点有且只有 (0,0,0,0)。因此在四维空间里两个平面可以仅在一点相交。更高维类似可证,但要注意的是,在五维空间里平面方程有三个等号,六维则是四个等号,如此等等。由此可见,我们虽然不能想象高维空间,但是能通过数学把握其性质,这是人类理性的胜利。

数字真奇妙——四和八的方方面面

关于四维空间,还有什么可以说的吗?比如四维空间里有没有“柏拉图立体”?其中肯定有正方体,不过其它的正多面体(或者更确切地应该叫正什么?反正你懂我的意思就行了)是否存在就需要动动脑筋了。下面我们还是离开这么抽象的东西,看看其它学科。

四、其它学科中的“四”和“八”

在逻辑学里,有所谓的四种类型的基本命题,示例和命题名称如下:

  • 「所有鸟都会飞———全称肯定命题」

  • 「有的鸟会飞————特称肯定命题」

  • 「所有鸟都不会飞——全称否定命题」

  • 「有的鸟不会飞———特称否定命题」

这些命题之间的关系,以及在“三段论”中的作用,是传统逻辑学中的重要内容,而现代物理课本上常作为“反面典型”的亚里士多德,就是世界上最早、最重要的逻辑学家,他这方面的成果在现代仍然基本适用。

下面看看物理学。这里最能体现四的重要性的,除了前面说到的相对论,就是麦克斯韦方程组,它无论是微分形式还是积分形式都由四个方程组成。同样的,热力学方程也是包含四个。我觉得,如果一个人能欣赏麦克斯韦方程组的美,那就也应该能欣赏热力学方程的美。已经有很多文章介绍麦克斯韦方程组了,所以下面只写了热力学方程组:

数字真奇妙——四和八的方方面面

四在化学中最重要的应用大概是第四主族元素了,碳硅锗锡铅嘛,其中碳是生命必不可少的元素,原因之一是它具有四个最外层电子,可以形成长链,构成几乎无穷无尽的各种分子,而硅比碳多了一个电子层,虽然也能形成很多种化合物,但到底还是就和碳有很大区别。有的科幻书一本正经地讨论“硅基生命”,不必当真了。不过硅也不必沮丧,因为它和锗是我们这个信息时代的明星。注意,如果你和台湾人交流,他们可能会把 Si 念成“矽”,这样是容易和“锡”“硒”混淆。另外截止到今天,全部已经发现的化学元素的原子,处于基态时核外电子只有四个亚层,这就是所谓的 s、p、d、f 亚层,每个亚层中电子云的形状不同。

八在化学中同样很重要,我们都知道有个“八电子稳定结构”,说的是如果原子的最外层具有八个电子就是稳定的。天然具有八个最外层电子的原子是所谓“惰性气体(现在叫稀有气体了)”,具有化学性质稳定、液化点和凝固点低等特点。而其它元素的原子也往往具有成为八电子稳定结构的倾向,于是产生了各种各样的单质和化合物。顺便说一句,在生物体内仅次于碳、意义可能和氢差不多的氧原子的核电荷数就是八。

在地质方面,本来我们所处的地质年代被称为“第四纪”,但是人类对自然界的影响太大了,于是有人倾向于划分出一个新的地质年代——人类纪。不过我不能断定这是不是认真的。

在天文学方面,我们的太阳系——多少有些随意的——被认定有八颗大行星,其中四颗是类地行星,另外四颗则是巨行星。本来冥王星也是大行星中的一颗,但是后来天文学家发现太阳系内类似冥王星那么大的行星有好几颗,而且不能保证今后不会发现新的同样大小的系内行星,于是把它降了半级,称之为“矮行星”,属于这个分类的还有谷神星等等。这是我要介绍的有关“四”和“八”的最后一个内容。


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