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不要惊讶,用纸折就可以轻而易举地解决一个古希腊几何难题

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-25 18:51:25 929 2 几何折纸

这简直是“化圆为方”(德语中引申为“不可能办到的事”)!你可能听过这句话,而且还可能知道它的出处。那可以追溯至古希腊时代,当时古希腊人尝试将一个圆转化成一个 面积相等的正方形,但没有成功。直到 19 世纪,德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了“化圆为方”的这一做法是不可能实现的。在这里,提示一下,这一做法无法实现的主要原因是圆周率(Pi)。

不要惊讶,用纸折就可以轻而易举地解决一个古希腊几何难题

将一个角三等分的问题不像“化圆为方”为大众所熟知。用圆规和直尺将一条线段三等分几乎没什么困难,但要把一个角三等分,该怎么做呢?

古希腊人也尝试了将角三等分,但也没有成功。大约两千年之后,才有一个数学家公布了他的证明,即皮埃尔·劳伦特·万策尔(Pierre Laurent Wantzel,1814—1884 年)指出用尺规作图法无法实现把一个角三等分。

因此,如果你想将一块比萨公平地切成三份,除了用量角器量出角的大小并除以三,然后标出切割线之外,别无他法。但是,有一个简单的技巧可以将不可能的事(一个角的三等分)成功地实现,你只需在纸上画出那个要平分的角,然后 把它巧妙地折叠起来。

不要惊讶,用纸折就可以轻而易举地解决一个古希腊几何难题

在图中我们可以看到角 PBC,它的边由线段 PB 和 BC 构成,B 是我们要三等分角的顶点。 点 A、B、C、D 分别标记了这张纸的四个顶点。我们首先在纸的中间位置画一条水平线 EF。然后,在 EF 和 BC 的正中间——纸的下边缘位置——画第二条线段 GH,该直线要与纸张的边缘线平行。

现在我们准备折纸 :拿起纸上的 B 角,将其在线段 GH 上来回移动,直到点 E 落在线段 BP 上,BP 即是我们要三等分角的上边。当点 B 和 E 落在指定的线段上时,我们将卷起的角折叠压紧,如图所示。接下来,我们标出点 B 与线段 GH 接触的位置,并将此点命名为 B',然后用同样的方法标出 E'。(参见第 56 页)

纸的折叠线与线段 GH 相交于点 I。如此一来,我们的任务就完成了 :线段 BB' 和线段 BI 即是角 PBC 的三等分线。

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精确地三等分

人们大概很难相信用如此简单的一个折叠技巧,竟然可以解决数学家用圆规和直尺无法解决的问题。

但是我们真的精确三等分这个角了吗?这并不难证明。由于我们是沿着 A'I 折叠的,所以出现了许多直角。线段 EE' 和 BB' 垂直于折叠边缘。折边的起点在点 A'、点 B 和点 B' 之间构成了一个等腰三角形。折痕平分了这个等腰三角形的顶角, 从而得到两个相等的角,我们将它们称为角 α。

其实,角 CBB' 也与角 α 相等,因为只要观察一下刚才提到的那个等腰三角形的左半部分的内角和,就可以得出角 B'BA=90-α。对称性的原因,角 BB'G 与角 IBB' 相等。现在我们需要证明的是,角 IBE'——在这里,我们称其为 α'——也与 α 一样大。

由于折叠具有镜面对称的效果,所以线段 BI 的延长线 BD 垂直于 E'B'。如果两侧的线段 BE' 和线段 BB' 长度相同,那么三角形 BB'E' 则是一个等腰三角形,并且垂直线将自动成为等分线,这就意味着 α=α'。

事实上,BE' 与 BB' 的长度完全相等。因为四个点 E、E'、B 和 B' 构成一个梯形,其对称轴正是折叠线。因此,两个对角线 BE' 和 EB' 的长度相等。同时,EB' 与 BB' 的长度也相等, 因为 GH 刚好位于 EF 和 BC 的正中间。综上可知,三角形 BB'E' 是一个等腰三角形。由此,我们便证明了线段 BI 和 BB' 的确将给定角等分成了三个角。

我仍然对折纸技巧感到惊讶。用纸折可以轻而易举地解决一个无法用尺规作图解决的问题,这难道还不疯狂吗?

我还发现了其他一些令人惊奇的事 :像五边形纸结这样很容易操作的事情,如果用数学的角度去思考则却非常曲折。因为证明用纸带打结的方法确实可以构成一个正五边形,并不像 证明角的三等分那么容易。

不管你是否能明白这个复杂的证明过程,只要你掌握了这些几何技能,就再也不用为复活节或切比萨头疼了。

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