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发现数学的奇妙力量,解锁看待世界的神奇视角

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-22 13:49:27 317 2

数学高考都已经过去一周多了,高中毕业好多年的你,肯定早就把高中数学知识忘光了吧?

哎呀,真可惜。

其实数学是有魔法的,如果你没有早早把数学忘干净,说不定人生会和现在不一样哟。

看不懂抽象艺术?可能是数学太差

2006年,美国抽象表现主义绘画大师杰克逊·波洛克的作品《1948年第5号》以1.4亿美元的价格售出。在没有接受过艺术训练的旁观者眼里,这幅画就像是几个小孩子握着不同颜色的蜡笔在地上乱画一气。不过,除了专业艺术鉴定人员以外,数学家也有本领验证一件有争议的波洛克作品是真品还是小孩子的涂鸦之作。

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▲ 1948年第5号(图自维基百科)

在这时候,数学就闪亮登场了。1999年,俄勒冈大学的物理学家和艺术史学家理查德·泰勒带领一个一流数学家团队对这些画作进行了分析,发现波洛克的高明之处不在于艺术,而在于数学。

具体地说,波洛克的作品与混沌理论及其衍生品——分形几何不谋而合。分形乍一看似乎是随意创作的图形,但每一个分形都是一个几何图形在不同的放大倍数下重复数千次形成的图案——有点儿像一个套一个的制作精良的木质俄罗斯套娃。

仔细观察波洛克的作品,就会发现放大的部分看起来与整幅作品非常相似,因此具有分形的特征,即无限复杂性。当然,如果我们继续放大他的作品,比如说放大上千倍,就像我们在iPad平板电脑上放大观看照片一样,我们最终就会看到一个个颜料斑点。

在数学中,我们可以用分形维数来描述这些图形,这个方法也可以应用到波洛克的绘画技术中。波洛克作品中的颜料滴和斑点似乎在不同的尺度上创造出了不断重复的图案。

因此,波洛克表现的某些美学维度是人类感知的某种推理,这也许超出了他的一些批评者可以理解的范围。下次若再有人大言不惭说抽象艺术只是小孩子涂鸦的时候,我想你应该知道要怎么做了。

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分形,即一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状,具有自相似的性质。图中的曼德博集合显示了这种模式。日常可见的事物中也有分形的特性,比如菜花的形状。

你的朋友圈是否逃过了“邓巴数”魔咒?

20世纪90年代初,牛津大学人类学家和进化心理学家罗宾·邓巴提出了通过“邓巴数”分析友谊的量化方法,为这个领域的发展做出了贡献。

当时,邓巴在伦敦大学学院任教,正在试图搞清楚为什么灵长类动物会花这么多时间和精力梳理毛发。他在研究中发现,灵长类动物的大脑体积和所 属社会群体的平均大小之间存在某种相关性。他发现,如果灵长类动物的大脑较大,它们的社会结构就比较复杂。

邓巴发现,人类的社会群体是由一系列层次构成的,就像洋葱一样,这些层次之间有着非常特殊的关系。他猜想每个层次的友谊可以容许的人数有一个上限,每个人应该有一两个特别的朋友(或许是伴侣),5 个亲密朋友,15个非常好的朋友,50个好朋友,150个一般朋友,最后还有大约500个熟人。这些关系会形成一系列逐渐增大的同心圆,但随着圆变大,关系的强度会逐渐降低,因此质量也会随之降低。

粗略地说,从一个圆到另一个圆遵循3倍法则:5×3 = 15,15×3 = 45(约等于50),50×3 = 150,150×3 = 450(约等于500)。

150 这个数字非常关键。邓巴通过人类大脑的平均体积和他对灵长类动物的研究结果进行外推,提出我们在不勉强的情况下往往只能处理好 150 个稳定关系。他解释说,这是“你碰巧在酒吧遇到,然后不请自来与你一起喝酒而你不会感到尴尬的人数”

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有150个喝酒伙伴,也是社交大师了。

150 这个神奇数字还出人意料地出现在社会的其他方面。

美国戈尔公司通过反复试验发现,如果在同一栋楼里工作的员工数量超过150名,就会出现社会问题。因此,他们提出了一个解决办法,建造只能容纳 150 名员工、只有150个停车位的大楼。

这些圆环结构也出现在现代社会网络中。沃尔弗拉姆研究公司的创始人兼首席执行官史蒂芬·沃尔弗拉姆研究了 100万个脸谱网账户,发现大多数人的好友数量在150~250 之间。(当然,在脸谱网上增加一个“朋友”要比在现实生活中交到一个新朋友容易得多,所以脸谱网好友的数量比邓巴数略多一些也就不足为奇了。)

爱因斯坦也没能识破的骗术

有一次,英国魔术师阿尔·柯兰(Al Koran)表演了一个“骗过爱因斯坦的把戏”。

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阿尔伯特·爱因斯坦

阿尔·柯兰:“阿尔伯特,如果我告诉你我能猜出你口袋里有多少零钱,你相信吗?” 阿尔伯特:“是吗?我觉得,从科学的角度来说,这是不可能的。”

阿尔·柯兰:“我不仅知道你有多少零钱,我还可以做3个预测。我口袋里有和你一样多的零钱,另外我还有50便士,而且我其余的零钱加上你的零钱,总数是 2.35 英镑。”

阿尔伯特:“好的,2.35英镑,这可是你说的。”

阿尔·柯兰:“那好,把你的零钱放到桌子上。我也把我的零钱放到桌子上。我有2.85英镑,你有多少?”

阿尔伯特:“我有1.71英镑。”

阿尔·柯兰:“我从我的这堆零钱中拿出1.71英镑,放在你的零钱旁边。记得我说过我有和你一样多的钱,另外我还有50便士。所以我再拿出50便士,把它放到我的这堆零钱里。2.85英镑减去1.71英镑,再减去50便士,所以我还剩64便士。”

阿尔·柯兰:“最后,我说我剩下的钱加上你的钱,总数是2.35英镑。所以我要做的是把64便士放到你的这堆零钱里。请你加一加,看看你的这堆零钱有多少?”

最后的结果令这位伟大的物理学家目瞪口呆:“1.71英镑加64便士,总共是2.35英镑。啊呀,你的预测完全正确!”

爱因斯坦或许是太聪明了,有时甚至过犹不及。他可能以为这个游戏涉及复杂的数学知识,殊不知其实就是一个障眼法,只是用了一些简单的语言技巧。你能想明白其中的玄妙吗?


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