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数学真奇妙系列:漫谈三角形

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-22 13:48:33 909 2 三角形

数学真奇妙系列:漫谈三角形

本文作者刘瑞祥,[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持!

人类研究三角形至少有两千年以上的历史,这种情况下我要讲出新的内容大概不可能,我尽量避免落入俗套,希望对读者有所裨益。

一、三角形的特殊性

相比于其它多边形,三角形确实有一些特殊之处,比如这是唯一一种没有对角线的多边形,是唯一一种内角和小于外角和的多边形,是唯一的只有平面没有立体的多边形,等等。但三角形最特殊的地方在于,只要确定了其中部分元素就能定下来其余元素,比如我们证明三角形全等的时候就有边角边、边边边、角边角、角角边定理。说到这里我有个疑问:那就是无论欧几里得的《几何原本》还是希尔伯特的《几何基础》,都是以边角边为基础推出另外几个全等命题(希著有专门的合同公理,欧著则不严格),那么是否可以把边角边作为其它全等命题的推论呢?或者说,这需要怎样的公理体系?这是一个问题。

除此以外,三角形还在希尔伯特的公理体系中有重要应用,比如除了前面提到的关于三角形的合同公理,至少还有一条直接和三角形相关的公理——平面顺序公理,即一条直线从三角形的一条边穿进去,一定会从三角形的另两边之一穿出来。

三角形还有几个颇为值得一提的地方,比如众多的三角形面积公式就很有意思。从小学时我们就知道的底乘以高的一半,一直到用行列式计算。我国数学家张景中研究的计算机生成可读性几何证明课题,其中一个重要思想就是通过面积来证明的。我想读者们知道这些面积公式的不少,我只提一个问题:如果不允许用三角形面积公式,你能证明等底等高的三角形面积全等吗?

数学真奇妙系列:漫谈三角形

三角形中还有好多个“心”,常见的就有重心、内心、外心、旁心、垂心。你都知道这些“心”的哪些性质?

二、“虚”的三角形

有时我们在证明题中需要构造一个或者多个三角形。典型的是用面积法证明平行线分线段成比例

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还有证明圆幂定理:

数学真奇妙系列:漫谈三角形

在反演问题中,要证明一条已知直线关于已知圆的反演形是过该圆圆心的圆,也要引入三角形。 这方面最妙的例子,我觉得是用三角形全等证明同角的邻补角相等。

数学真奇妙系列:漫谈三角形

立体几何中我仅举一例,即证明直线垂直平面的判定定理,需要多次证明三角形全等。

数学真奇妙系列:漫谈三角形

三角形在立体几何中的应用远不止如此,比如要证明两个三面角全等或者对称,就和证明三角形全等差不多,而且五种正多面体中就有三种是由正三角形构成的。

三、尺规作图

三角形在尺规作图中很重要,比如《几何原本》中的第一个命题就是作正三角形,而且这个命题的第一个用途居然移动已知线段。《几何原本》所以这么作,是因为这其中的圆规是所谓的“松规”,即看作是只要两脚离开页面就会合在一起的圆规,因此无法直接用来移动线段(见左图)。但《几何原本》里的这个作图到底还是需要尺子的配合,如果没有尺子呢?方法很简单(见右图):

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设已知点 A 和线段 BC,要求以 A 为顶点作一条长度等于 BC 的线段。

  1. 分别以 A、B 为圆心,AB 长为半径做圆,二圆分别交于 D、E 点;

  2. 分别以 D、E 为圆心,DC、EC 为半径做圆,二圆交于 F 点。

  3. AF 即为所求。

勾股定理意义重大,当然会出现在尺规作图里,比如不用直尺四等分圆。

也不但在限制尺规的作图方面,就是通常的作图,三角形也有重要作用,比如边边边定理还是尺规作图的重要依据,比如可以实现做角平分线、做垂线等等操作。


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