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初等数论入门:什么是“域”

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-21 17:13:29 2898 2 数论

初等数论入门:什么是“域”

1. 什么是“域”

伽罗瓦提出一种名为“有限域”(finite field,日语将其称为“有限体”)的理论。在为大家做具体介绍之前,我先来讲讲什么是域。我们从上小学开始就不断学习与数有关的知识,想必大家一定已经发现了,学习中接触到的数的种类在逐渐增加。我们最先接触自然数 1, 2, 3, ……,然后是 2/3、3/4 等分数和 1.5、0.04 等小数,再后来又学习了 −2、-5 等负数。

接下来会接触到诸如正方形对角线的长度等,像 √2 这样的无理数。无理数无法用分数表示。

数自身不断进化,其种类也不断增加。这究竟是为什么呢?当然是为了方便计算。

当大家只了解自然数 1, 2, 3,…… 的时候,虽然可以自由地进行加法运算,但却无法随意地进行减法运算,因为较小的数不能减较大的数。想让小数减大数就要创造出新的负数。也就是说,只要将数的范围扩展至负数

…… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ……

就能自由地进行减法运算了。

但是,负数的出现并不能保证除法运算的自由进行,例如,我们还是无法得出 2 ÷ 3 的结果。为此必须引入 2/3 这种新的数,也就是说,分数是必需的。

包括所有正负整数和正负分数在内的数的集合叫作有理数,数的范围扩展至此,在这一范围内可以自由地进行加、减、乘、除的运算(不过,0 不能作除数)。

这种可以自由进行加减乘除运算的数的集合就叫作「域」。因此, 可以说全体有理数构成了域,即下列各等式是成立的。

初等数论入门:什么是“域”

不过,“域”这个字在这里没有什么特殊的含意。无论大家怎么查询都不会找到“域”在数学中的含意。

虽然全体有理数构成了域,但域并非仅指有理数。除有理数之外,还存在无理数。有理数和无理数共同构成了实数,所有实数也构成了域,即下列各等式也都成立。

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所有实数都可以自由进行加减乘除运算,因此实数也构成了域。除此之外还有很多个域。

例如,所有具有以下这种形式的数也能构成域。

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任意选取两个这样的数进行加减乘除运算,其结果也永远是上面这种形式的数。由此可知,所有具有这种形式的数构成了域。

2. 最小的有限域

以上举出的域只不过是无数个域中的两三个实例,这些域中都包含着无穷多个数。不过,并不是所有域中都一定包含无穷多个数,也存在一些由有限多个数构成的域。

由有限多个数构成的域叫作「有限域」。由于最初研究有限域的数学家为伽罗瓦,所以我们也将有限域称为“伽罗瓦域”。

在有限域中,数的个数最少为 2。

这个域就是用 (mod 2) 对整数进行分类时的剩余类。

用 (mod 2) 进行分类后,整数将被分为两类,一是包含 0 的类,即偶数;二是包含 1 的类,即奇数。我们在此假设,所有偶数用 0 表示,所有奇数用 1 表示。

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大家可能觉得 1 + 1 = 0 有些奇怪,但只要把它看作是奇 + 奇 = 偶的意思就很好理解了,或者也可以认为它的意思等同于 1 + 1 ≡ 0 (mod 2)。

乘法运算的情况如下。

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具有上述 + 和 × 的计算规则的 0 和 1 的集合就构成了域。

根据"同余式与等式"一节介绍可知,利用 (mod n) 对整数分类后,- 和 × 等各种运算规则仍然成立。

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当然,对于 (mod 2) 应该也成立。

另外,对于非 0 的“数”,也就是 1 而言,其逆元*为 1 本身,所以 ÷1 和 ×1 的结果相同。

* 通常在数学领域它与“倒数”的意思相同,指该“数”乘以“某数”等于 1 时的“某数”。

也就是说,{0, 1} 这个“数”的集合构成了域。

3. 用 (mod 3) 进行分类时的有限域

下面我们来看看 (mod 3) 的情况。

剩余类包含 0,1,2 这三类。加法运算和乘法运算如下表所示。

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由该表可知,由于 1 × 1 ≡ 1, 2 × 2 ≡ 1,所以 1 的逆元为 1, 2 的逆元为 2。也就是说,0 以外的数都有逆元,所以 {0, 1, 2} 构成了域。

4. 用 mod 4 进行分类则无法构成有限域

接下来让我们用 (mod 4) 进行分类。剩余类共包含 0,1,2,3 这四类。

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根据上表可知,此时 2 · 2 ≡ 0,所以 2 没有逆元。

也就是说,因为非 0 的 2 没有逆元,所以不能构成域。

5. 用 mod 5 进行分类时的有限域

下面让我们来试试用 (mod 5) 进行分类。由于剩余类包含 0, 1,2,3,4,所以加法和乘法表如下。

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根据乘法表可知,

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由此可知,除 0 以外的其他“数”都有逆元。

6. 若 p 为素数,则剩余类为有限域

至此,我们可以推测出当 n 为素数时,(mod n) 的剩余类能构成个数为 n 的有限域。

事实的确如此。

我们知道,当 p 为素数且用 (mod p) 进行分类时,费马小定理是成立的。

也就是说,对于非 0 的 a 而言,以下同余式恒成立。

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在此令 a^(p-1)=a·a^(p-2),则

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由此可知,a^(p-2) 是 a 的逆元。

因此,非 0 的 a 确实总是存在逆元。由此可知,相应的剩余类可以构成域。例如 (mod 5)

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同理可得

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再如 (mod 7)

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综上,以素数 p 为 mod 后得到的剩余类能构成个数为 p 的有限域,由此可知 1 个素数有 1 个有限域。然而,由于素数有无穷多个, 所以有限域也有无穷多种类。

7. 根据原根表找出逆元

如果我们手边有原根表,那么就能轻松地找出逆元。例如 (mod 7)。因为原根为 3,所以

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由此可知

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也就是说,当 3^s 表示逆元时,用 6 减去(原来的数的)指数即可得到 S。


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评论列表(2人评论 , 2898人围观)
  • 2022-05-12 10:13:26

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