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数学之美——伟大的数学家欧拉及他对巴塞尔问题的精妙解法

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-21 17:09:42 2869 1 数学家

数学之美——伟大的数学家欧拉及他对巴塞尔问题的精妙解法

德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯,被许多人认为是"自古以来最伟大的数学家",但他却给出了如此赞誉献给欧拉本人。

本文将介绍瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的。欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他的多产被誉为传奇,且他的数学成果足以汇聚成 92 卷文集。

“读读欧拉吧, 他是我们所有人的老师。”——皮埃尔-西蒙·拉普拉斯

巴塞尔问题(Basel Problem)

巴塞尔问题于 1650 年由意大利数学家彼得罗·门戈利首次提出,1734 年由欧拉解决,这使他立即得到认可。这个问题是求自然数的平方的倒数之和:

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等式 1:巴塞尔问题

许多有影响力的数学家试图找到一个公式,以求自然数平方的倒数之和。如微积分的两位共同发明者约翰·沃利斯和伟大的戈特弗里德·莱布尼兹就是尝试了这个问题但以失败告终的众多人中的两位。但年仅 28 岁欧拉在就解决了这个难题,并且他给出的答案的数学性质令数学界感到惊讶。尽管他给出第一个证明(他后来又提供了其他几个证明)并不是严谨的,但它的美、简单和原创性是都是令人难以置信的。

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图 3: 巴塞尔是瑞士的第三大城市, 也是欧拉的故乡(图自维基)

欧拉的独到见解是将 sinc(πx)函数写成了根式解的形式。

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等式 2:sinc(πx)函数的定义

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图 4: 在 x = −6π 到 6π 区间显示在同样尺度上的归一化 sinc(x)(蓝色)与非归一化 sinc 函数(红色)

为便于理解,来看个例子,下面的四次多项式写为根式解的形式:

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将表达式相乘后展开,我们能够得到下面结果:

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等式 4:乘开各因子之后的表达式

欧拉的策略是将同样的展开式应用到超越函数上。

超越函数(Transcendental Functions)

超越函数就是“超出”代数函数范围的函数,是指那些不满足任何以多项式方程的函数,也就是不能写成与“等式 4”类似的多项式相乘的形式。指数函数、三角函数和对数函数是三个众所周知的超越函数例子。

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图 5:指数函数、对数函数和三角函数的图象(图自维基)

sinc(πx)函数具有以下根:

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等式 5:sinc(πx)函数的根

欧拉利用下面最基本的数学恒等式,将 sinc(x)函数写成了与等式 3 中 f(x)相同的格式

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由于对于等式 5 中的每个根都有相应的负根,因此等式可以写成下列形式:

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等式 6:sinc(πx)函数的零点式

下一步是将等式 6 中的因子相乘展开,但让我们只关注其二次项就可以了:

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等式 7:等式 6 展开后其二次项系数

泰勒级数

泰勒级数是将函数表示为无限项连加式,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数,以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

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图 6:随着增加泰勒级数的项,它就越接近到准确的函数。黑色细线表示函数 sin(x),蓝色粗线是泰勒多项式

图 6 所示的七个泰勒级数代数形式如下:

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等式 8:相应的次数的泰勒多项式。这些函数图象如图 6 所示

sinc(x) 函数的泰勒展开式是:

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等式 9:sinc(πx)的泰勒展开式

人们可以认为 「等式 8」 是具有无限项的"伪多项式",就像「等式 5」中所示它有无穷个根。

比较两个结果

对比「等式 7」 和「等式 9」,我们得了目标结论:

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等式 10:欧拉给出的巴塞尔问题的答案

作为额外收获,欧拉的推导过程为我们提供了著名的沃利斯公式。只需在 x = 1/2 代入「等式 6」中即可得到。

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