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如何用数字表达的友情和浪漫?可以考虑用数学中的亲和数

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-21 17:05:18 428 2 亲和数

如何用数字表达的友情和浪漫?可以考虑用数学中的亲和数

亲和数(Amicable numbers),又称相亲数、友爱数、友好数,指两个正整数中,彼此的全部正约数之和(本身除外)与另一方相等。毕达哥拉斯曾说:“朋友是你灵魂的倩影,要像220与284一样亲密。”

市面上你可能还可以买到由两片分别刻有“220”和“284”的半边心形拼成的钥匙串或者首饰。人们购买它们,并将一半送给心爱的人,将另一半留给自己,我也做过这样的事。相传于古希腊,220 和 284 是友情和浪漫的象征,直到现在,仍有一些书呆子使用这个寓意。

220 的因子包括 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55 和 110。它们看起来似乎没有什么奇特之处,但是如果将它们加起来,你就会发现它们的和恰好等于 284。这也没什么特别的?那就再将 284 的所有因子(1、2、4、71、142)加起来,结果会是——220。将一个数的所有因子加起来会得到另外一个数,220 和 284 就是这样亲密相连,因而得到了一个名字:「亲和数(amicable number)」(相亲数)。

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这两个数不是唯一的亲和数。费马在 1636 年发现了一对新的亲和数,它们是 17,296 和 18,416。但要使用它们,你可能得买个大一点的钥匙串或者首饰。勒内·笛卡尔(Rene Descartes)在 1638 年又发现了一对亲和数——9,363,584 和 9,437,056,要使用这两个数字,估计只能镶边了。1747 年,欧拉也加入了寻找亲和数的游戏中,并发现了大约 60 对新的亲和数,好好地炫耀了一把。但是所有人都没有发现第二小的亲和数对——1,184 和 1,210,它们在 1866 年被当时只有 16 岁的中学生 B.尼科洛·I.帕格尼尼(B. Nicolo I. Paganini)发现。我们已无从考证他发现的动力是来自恋爱还是研究数学。

如果你想知道更多亲和数,可以在以下网站(amicable.homepage.dk)上找到所有已知的亲和数及其发现者的信息。

如何用数字表达的友情和浪漫?可以考虑用数学中的亲和数

我们仍然对亲和数了解甚少。长久以来,有一个猜想认为所有亲和数都是 2 或 3 的倍数,但是 1988 年发现的两个亲和数——42,262,694,537,514,864,075,544,955,198,125 和 42,405,817,271,188,606,697,466,971,841,875 证明了这个猜想是错误的。于是猜想又变成:所有亲和数都是 2、3 或 5 的倍数,但人们在 1997 年又发现了一个包含 193 个数字的反例。还有猜想断言有无穷多对亲和数,但即便现在已经找到了至少 11,994,387 对亲和数,说实话,我已经不知道该相信谁了。

12,496 是亲和数的变异,将它的因子加起来,会得到 14,288;再将 14,288 的因子加起来,会得到 15,472;持续这个过程,15,472 会变成 14,536,14,536 会变成 14,264,14,264 会变成 12,496,正好回到起点。不过不管怎样,这一趟下来还真是刺激!通对因子求和,我们得到了这个由 5 个数组成的环路。这样的数链被称为「交际数(sociable number)」。还有环路长度远远超过 5 的交际数。它们虽没有亲和数关系紧密,但是我们对它们持开放态度。[你可能已经注意到,我们把原数本身排除在因子之外,对所谓的“真因子”(proper factor,即所有包括 1 但不包括原数本身的因子)求和。]

接下来,最神奇的数要来了:有一些罕见的数,当你把它们的因子相加,会得到原数。最小的例子是 6,6 的因子是 1、2 和 3,而 1+2+3=6;之后是 28,因为 28=1+2+4+7+14。古希腊人称这些数为「完全数(perfect number)」。下一个完全数是 496,再接下来就是一个比较大的跨越,到了 8,128。再往后,就越来越荒唐了。下一个完全数是 33,550,336,接下来是 8,589,869,056,后脚紧跟着的是 137,438,691,328,再后面那个拖后腿的则是 2,305,843,008,139,952,128。

古希腊人发现了 8,128 之内的前 4 个完全数。33,550,336 首次确认为完全数是在 1456 年,后面的 7 个完全数都是在后来的 500 年中发现的,最大的完全数含有 77 个数字。从 1952 年开始,计算机的应用发现了另外 36 个更大的完全数。目前已知的最大完全数是在 2013 年发现的,包含 34,850,340 个数字(最后一个数字是 6)。这让人非常震惊,它的真因子多达 115,770,321 个,加起来竟然恰好等于自身。

如何用数字表达的友情和浪漫?可以考虑用数学中的亲和数

完全数的发现和我们已经提到过的一个问题关系非常紧密:「寻找梅森素数。迄今为止,所有已发现的完全数都是某个梅森素数的倍数。在欧几里得的时代,他在《几何原本》第七卷中将完全数定义成“诸分之合数”,并且证明了所有偶完全数都有一个梅森素数因子。欧拉随后又证明了一个(稍微有点不同)的结论:所有梅森素数都是某个完全数的因子(欧几里得和欧拉终于成功合体,而且这不仅仅是因为他们都姓“欧”)。因此,每当发现一个梅森素数,我们就会同时免费得到一个完全数。

完全数还有缺失的方面:奇完全数。到现在为止,我们发现的全是偶完全数,但奇完全数完全有可能存在。如果它们存在,我们知道它们的因子里没有梅森素数,它们会具有一些我们从未想到过的性质。虽然大多数人猜想不存在奇完全数,但对奇完全数的搜寻一直没有停止。这需要大量的计算资源,所以很自然地,有一个分布式计算项目在寻找它们。如果你想加入,可以登录 oddperfect 网站了解。

上文节选自《我们在四维空间可以做什么》


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