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数字真奇妙系列之完结篇——自然数九和十

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-21 17:03:58 375 2 自然数数字

数字真奇妙系列之完结篇——自然数九和十

本文作者刘瑞祥,[遇见]这里要特别感激刘老师投稿支持!

这个数字系列,我最开始写六和七的时候只是偶发奇想,后来才想着写写数字五,再接下来就写了四和八、三、一和二。其中关于三和五的都是单独成篇,并专门写了三角形和正五边两篇文章。既然已经写了这么多,如果不写一下九和十好像不完整似的,那么就让我继续努力一下吧。

数字 9 和 3 的共同点是,在十进制中,一个能被 9 或 3 整除的数,各位上的数字和一定也能够被 9 或 3 整除,反之亦然。证明这一点应该不难吧,不过我以前还真在某教育论坛上看见小学老师问这个问题的。我要顺便嘚瑟一下的是,想当年我初中的时候可是自己发现一个数能够被 17 整除的其点的——将一个数最后一位划掉,剩余部分减去划掉部分的五倍,如果结果能被 17 整除,则原数能被 17 整除。

数字 9、3 和 7 还有一个共同点——它们的 1-9 倍最后一位都不同。这个规律可以运用到相当一类的数学游戏当中,即给你一个用不同字母表示数字的乘除法算式,让你猜测各字母分别代表什么数字。另外数独、三阶幻方等游戏也都和九有关。

数字真奇妙系列之完结篇——自然数九和十

▲ 求解ABCDE各数值为多少?(答案不唯一)

一个经常出现在数学科普文章里的问题是为什么 0.999…=1,这个话题既能从初等数学来论证,也能从高等数学方面论证,还能从数论的角度来看。那么对一个已知循环节的小数,你能化成分数吗?如果十进制的你会了,别的进制呢?

在边数少于十的正多边形中,正九边形和正七边形是“唯二”的不能尺规作图的正多边形。但是正九边形比正七边形应该简单点,因为可以方便的用半圆仪画出圆心角。如果你用折纸制作正九边形的话,也应该比正七边形容易想到思路。

数字十对于我们很重要,因为我们日常用的就是十进制,所谓的科学计数法、国际单位制等等都与之有关。顺便说一句,你知道当今世界哪个主要大国单位制最混乱吗?答案是美国,因为只有美国还在沿用着连英国都已经逐渐淘汰的非十进制的英制。但是如果涉及时间或者角度,人们往往喜欢以 3 的倍数为进制,因为这样的话三等分不会出现分数,据说这也是一部分人捍卫英制的理由。

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▲ 典型手持科学计算器上的对数键(以10为底的log和以e为底的ln)(图自维基)

十进制给数学带来的另外一个影响就是常用对数,我是初中学到对数的,现在还记得 lg2=0.3010 和 lg3=0.4771。高中则接触到了对数函数、常用对数和换底公式。我父亲还用过根据对数原理制作的计算尺,当然现在是没什么用了,不过当年很重要,据说钱学森先生就曾经自掏腰包为中科大的学生购买过计算尺。对数的一个意义是便于我们度量那种可能相差很多倍的物理量,比如噪声、星等、地震震级等等都和对数有关。现在讲对数都直接说成是指数逆运算,而历史上则是先发明对数再发现它和指数关系的。数学史和数学本身的逻辑毕竟不同,这一点的另一个例子是微积分的人发明顺序是积分-求导-极限定义。不谈这个了,只问你一句,你会证明 lg2 是无理数吗?

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▲ 计算尺上的游标(图自维基)

虽然人类用十进制很方便,但计算机就只能是二进制。而这个差异,再加上计算机字长和存储器总是有限的,导致计算机的浮点运算很容易产生误差,比如我当年在 286 上用 GWBASIC 语言计算 3^4 时得到的结果就是 81.00001(小数位数可能有误,但肯定不是正好的 81),而计算 3*3*3*3 不会产生误差。究其原因,是因为前者在计算机内部用到了自然对数和指数运算,产生浮点小数造成误差。我不同阶段的计算机老师都在苦口婆心地教育我——如果你要在程序里判断两个浮点数是否相等,一定注意只要小于一定误差就可以了。

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▲ 正十二面体和正二十面体及正投影图形

下面再说个尺规十等分圆的方法。本来我们可以做出圆内接正五边形之后把每段弧平分一下就可以了,但是这样手续太烦,更简单的是直接把圆半径进行黄金分割,分得的大段即是该圆内接正十边形的边长,进一步再将画正五边形也很容易。最后一点,正十二面体和正二十面体虽然表面上没有正十边形,但如果把各个面向底部做正投影,那是很容易出现十等分圆的。


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