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数学证明的游戏,发现暗藏在数字里的真相

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-20 13:11:28 273 2 证明

数学证明的游戏,发现暗藏在数字里的真相

如果你看到了一篇关于数学的新闻报道,它大概率是这样的内容:一位数学家“证明”了一些伟大而杰出的猜想。1995 年,报纸上盈千累万的头条都是关于安德鲁·怀尔斯对费马大定理的彻底证明。2006 年,特立独行的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼(Grigori Perelman)证明了数学中一个重要的未解决的问题—庞加莱猜想(Poincaré conjecture),这使他获得了赢得百万美元奖励的权利。还有 6 个“千禧年大奖难题”,它们向数学家发起了挑战:要想证明自己学科的猜想,即使有直觉也依然棘手。

「数学家工作的核心是证明。」 公理是关于数字和几何的不言自明的真理,证明就是从公理开始的逻辑论证。通过分析公理,我们可以重新组合出关于数字和几何确切的新的表达形式。然后,这些新发现可以构成新证明的基础,而新证明反过来又将引导我们发现公理的更多逻辑结果。数学的发展就像一个有生命的生物体,从先前存在的形式向外不断延伸开来。

人们常把数学证明比作下国际象棋或围棋。公理是棋盘上棋子的起始位置,逻辑推理规则是决定棋子如何运动的参数,证明是棋子一步一步的运动轨迹。在下国际象棋时,每一步棋都可能有成千上万种可能。例如,开局四步棋之后(黑白各两步),在棋盘上,棋子的分布就已经有 71852 种可能了。通常,你不需要走几步棋就能达到这样的效果。对于围棋来说,棋子分布可能性的数量更甚。

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如果我把棋子随机放在棋盘上,你可能会问,有没有可能从初始状态把棋一步一步走成这样?换句话说,随机摆在棋盘上的棋子位置,按照围棋或是国际象棋的规则是可能的吗?这类似于数学中的猜想,例如费马大定理。费马断言当整数 n >2 时,关于 x、y、z 的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。这本身就是一个猜想。数学家所面临的挑战是需要证明得到这样的结果是否符合数学本身的逻辑。费马就是这样把棋子摆在棋盘上,然后说:“我相信你一定能按照棋的规则,把棋一步步走成这样。哈哈哈哈!”安德鲁·怀尔斯和其他为证明费马大定理而努力工作的数学家,就这样确定了“棋子”一系列的移动,最后完成了费马大定理指定的排列方式。

数学界的艺术之一就是找出这些猜想目标。许多数学家认为,提出正确的猜想比埋头苦算更重要。要发现暗藏在数字里的真相,需要对数学有异常灵敏的嗅觉。这往往就是数学家最具创造性和可以发挥高深莫测技能的地方。数学家只有一辈子都沉浸在数学的世界里,才可能获得关于数学猜想的灵敏嗅觉。这通常是一种不需要解释的直觉和预感,是所有人梦寐以求的东西。

这就是计算机很难对猜想计算成功的原因之一。自上而下的算法像是一个醉汉在黑暗中跌跌撞撞:它有可能会随机地溜达到一个“有趣的地方”(奇异点),但大多数时候,它的行动没有重点、没有方向,毫无价值。但是,如果算法基于人类数学家的经验进行学习,这种自下而上的结构能否使算法发展出一种对奇异点的直觉呢?

数学家们是如何建立起这样一种对奇异点的直觉的?这种直觉通常不是巧合—在你脑海里往往有众多案例支撑,或者说应该是存在某种模式的。但是,这种直觉往往稍纵即逝,所以证明出一个猜想是如此的难得和重要。有时,需要数年才能发现一种模式是错误的。我在自己的工作中对一个模式做了一个猜想,一个研究生花了十年的时间才证明了它是错误的。

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图右下角为利特尔伍德(1885.6.9-1977.9.6),英国数学家,最为出名的是他和哈代长期的合作

关于错误猜想,我最喜欢的一个例子是 19 世纪伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)对质数的猜想。高斯认为 Li(x)–π(x)的值总是正的,而且是递增的。所有的证据都表明高斯是对的。如果让一台计算机来解决这个问题,它将产生支持高斯猜想的数据。然而,1914 年李特尔伍德从理论上证明了事实正好相反(即存在 Li(x)小于(x))。高斯的猜想是错误的,但证明他错误的这个数字大得惊人,比宇宙中原子的数量还多(即便这样,我们也无法接近这个猜想的崩溃点)。

这就是所有猜想所面临的问题:我们无法证明它们是真的,还是我们的直觉和现有的数据将我们引入了歧途。为了将那些未经证明的猜想与现已证明的定理联系起来,我们痴迷于尝试建立起一系列数学运算

究竟是什么驱使人类去证明?人类创造数学的动机是什么?编写算法来给数学家制造更多的挑战,这会成为我们探索数学领域的新动力吗?数学的起源可以追溯到人类试图理解自己所生活的环境,预测接下来会发生什么,从而使我们更加适应环境,并选择对我们有利的事物。可以说,数学是人类的一种生存行为(我在故我思)。


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