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简述“数学皇后”数论,回顾在其发展史中的2个重要里程碑

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-20 13:10:36 320 2 数论

简述“数学皇后”数论,回顾在其发展史中的2个重要里程碑

数学是宇宙的自然语言。它诞生的原因之一,是因为人类需要找到一种方法来弄清大自然的模式与规律。正因为如此,数字会让我们深深着迷。而作为数学里最古老分支之一的数论,一直吸引着最伟大的智者和思想家们探索其中,以此解开宇宙里众多深邃的奥秘。

数论主要研究整数的性质,正整数按乘法性质划分,可以分成质数(Prime number)、合数(Composite number)和 1,质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题,如哥德巴赫猜想,孪生质数猜想等。这些问题尽管能轻松理解,但如果想要给出严格证明的话,事实上却要用到许多艰深的数学知识。所以说对于数论领域的研究实际推动了整个数学的发展,催生了大量的新思想和新方法。

数论这样的纯粹性迷住了一代又一代的数学家,每一位都在这个被高斯称为“数学的女王”的领域中献出了自己心血和智慧。相信在更崭新的领域诞生之前,数论都会是纯数学领域的王者。

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数论随着物理、计算机、工程学发展而发展,我们可以这样理解,数论在当今先进软件工程领域里,尤其是在安全密码这一块里占有绝对关键地位,它是密码学的核心——从著名的 RSA 算法到如今火热流行的区块链世界,密码学正依靠数论为基石经历着一场激动人心的快速革命。

纵观数学历史上,有两个特殊时期是数论发展历程中值得特别关注的。

首先是在希腊化时代,被称为“几何学之父”的欧几里得曾发表他的 GCD 算法(最大公约数法,Greatest Common Divisor),这个算法巧妙地利用可视化方式将分数化为最简单的形式。

而在大约两千年后, “数学王子”德国数学家高斯通过结合欧几里得手稿和大量自己的证明使欧几里得的理论完成了一部十分重要的数论著作《算术研究》(Disquistiones Arithmeticae)。

欧几里得和最大公约数算法

数论作为数学中一个主要分支可以追溯到公元前的希腊时代。在当时,欧几里得是一位非凡的数学家,他住在亚历山大港,有时被称为亚历山大里亚的欧几里得(为了区分墨伽拉的欧几里得)。他提出了有历史记录的最古老的算法(这里指的是一系列循序渐进的步骤)之一。这个算法被称为欧几里得算法,因为它突出了自然数中迷人的性质,所以它是现代数论研究的起点。

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最大公约数算法(辗转相除法)可能在欧几里得之前几个世纪就已经有了。上图为使用两脚规进行测量。

这是在公元前 300 年左右,欧几里得发表了他的经典著作《几何原本》系列,这个由 10 卷书组成的系列涵盖了从整数到线段和面积的一系列主题。有意思的是,他的最大公约数算法不止出现一次而是两次,第一次在第七卷(命题 1-2,以整数的形式展现),第二次在第十卷(命题 2-3,以几何线段的形式展现)。

最大公约数算法在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术

根据数学史学家的说法,后一种算法,即基于几何的算法(第十章),实际上可能先于第七章中基于数字的算法。欧几里得认为研究长度,面积和体积在理论上对最大公约数算法很重要,因为它提供了一种方法,来找到线段 a 和 b 之间的最大公共长度。考虑到他所处的时代,这一观察很可能对任何从事建筑(木工,石匠等)的人很有使用价值。

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由之前的定义可得,两个长度 a 和 b 的最大公约数的几何意义是均匀测量 a 和 b 的最大长度 g;或者,长度 a 和 b 都是最大长度 g 的整数倍。一个几何例子如图,想象一下我们被要求在一块 15m×25m 的地板上铺瓷砖,这需要我们计算瓷砖的边长,使它们完美地和地板的长和宽相匹配,没有留下缝隙。换言之,15 和 25 的最大公约数是多少?我们省去求最大公约数的有关具体步骤,但希望以上插图能提供几何上的直观理解。如上图圆圈所示,这道题的答案是 5,确实是 15 和 25 的最大公约数。

高斯和算术基本定理

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在欧几里得时代大约 2000 年后,数论取得了第二次重大突破。年轻的卡尔·弗里德里希·高斯在 21 岁写成了一本数论教材《算术研究》,将欧几里得原理和近代数学结合起来。在这本著作汇集费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等人多种巧妙又精确的研究成果,虽然这并非独创的,但他也加入了自己很多重要成果,这样归纳整理完成了数论的系统化。在这本著作中,他将以前分散的、非正式的方法系统总结,对重要的未解决问题提供了自己独创的答案,夯实了数论继续发展的重要基础,为后人在未来的研究中指明了方向。

“高斯曾说:‘数学是科学的女皇,数论则是数学的女皇。’如果这是真理,我们还可以补充一点:《算术研究》是数论的宪章。”——莫里茨·康托

《算术研究》一书中最重要的发现是一个永恒的定理,被称为算术基本定理,又称为正整数的唯一分解定理,即:每个大于 1 的自然数,要么本身就是质数,要么可以写为 2 个或以上的质数的积,而且这些质因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。

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这个定义可以分解为独立的两部分以便于理解。首先是分解的存在性,根据规定一个大于 1 的整数要么是素数,要么可以构造成严格的素数的乘积。第二部分保证了分解的唯一性,每一个非素数(合数)都存在唯一用素数的乘积表示的方式(若不考虑排列的顺序)。

换言之,素数是所有整数的“基石”:素数的乘积可以唯一确定所有的整数。这个结果毫无疑问地被过去的所有数学家所知道,但高斯在《算术研究》里第一次正式地论述它,并给出了严格的证明。

密码学应用

现在我们已经了解到了数论的基本历史及它所影响的深度。是时候让我们熟悉一下数论中应用性最强的主题:密码学。虽然直到伟大的高斯才正式为这个应用奠定了数学基础,但密码早已用于战争之中了。通过其中以往 [遇见] 曾发布过的文章,我们可以了解基本常见的密码学原理,这将有助于分析和理解现代最重要的安全算法之一:RSA 算法。


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