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四点共圆模型欣赏

xiawuyouke 趣味数学题 2022-01-20 11:53:20 2726 1

四点共圆模型欣赏

本文作者:刘瑞祥,[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持!

四点共圆(圆内接四边形)是平面几何里的一个重要模型,涉及的对象很多,使用灵活,难度很大。以其中的角度关系来说,主要包括外角等于内对角、同弦所对的角相等(角在弦的同侧)或互补(角在弦的两侧)这两个重要结论,而且很好的一点是其逆命题也成立,即可以通过角度关系来判断四个点是不是共圆。本文略举数例,介绍其应用。

问题一:圆内接四边形有一组对边平行,则另一组对边相等

四点共圆模型欣赏

已知:A、B、C、D 四点共圆,且 AB//CD。求证:AD=BC。

证明:连接对角线 AC、BD,二者相交于 E 点。

因为 AB//CD,所以 ∠3=∠3’。

又因为 A、B、C、D 四点共圆,所以 ∠3=∠3”。

即 ∠3’=∠3”。

所以 ED=EC。(等角对等边)

同样因为 A、B、C、D 四点共圆,可得 ∠1=∠1’,∠2=∠2’。

所以 △ADE≌△DCE。(角角边)即 AD=BD。得证。

这里两次直接用到四点共圆的角度关系,使之得到充分的利用,干净利落。若用其它方法,恐迂回笨拙。

问题二:证明相交圆得到的两弦平行

这道题并不难,但是《许莼舫初等几何四种》(许莼舫著,中国青年出版社 1978 年出版)中介绍了这道题的各种变化形式,居然达到 23 种之多。因其证明简单,具体过程就略去了。

四点共圆模型欣赏

已知:两圆相较于 A、B,通过两交点各作一直线 CAD、EBF,止于两圆。 求证:CE//DF。

学生经常会陷入题海不能自拔,如果老师在教学中能抓住题目的“灵魂”,也就是“万变”表象下的“不变”之处,就能摆脱困境了。

问题三:作顶点在给定三平行线 l1、l2、l3 上的正三角形

这一题至少有两种解法,最终的证明过程都和四点共圆有关。这两种做法都来自《圆之吻——有趣的尺规作图》(作者莫海亮,电子工业出版社 2016 年出版),但没有证明。

解法一

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作法:

  1. 作任意直线与已知平行线垂直,分别交三线于 A、B、C 点;

  2. 过 AB 的中点作直线 m 与 l1 平行;

  3. 过 C 作 CE 与 AC 成 30 度,交 m 于 E 点;

  4. 连接 BE 并延长,交 l1 于 F;

  5. 作角 FBG 等于 60 度,交 l3 于 G 点;

  6. 连接 FG。 三角形 BEG 即为所求。

证明:

连接 EG。

因为角 EBG 和角 ECG 都是 60 度,所以 E、B、C、G 四点共圆,所以 ∠BEG 与 ∠BCG 互补,也等于 90 度。

因为 D 是 AB 的中点,且 DE 与 l1 平行, 所以 DE 是 △ABF 的中位线,BE=FE。

又因为 EG 是公共的,∠BEG=∠FEG=Rt∠,所以 △BEG≌△FEG,所以 ∠EFG=60 度。

得证。

关于圆内接四边形的角度关系,有一个特例:如果一个角是直角,其对角也是直角。前面就利用了这个关系。而且从本题可以看出,四点共圆中的“圆”不一点在作图过程中给出,有时只在证明过程中才会出现,下面的解法亦然。之所以如此,是因为如果只利用角度关系而不涉及线段长度,则只需要做出等角即可,无需找直线和圆弧的交点。而在证明过程中,如果看到同一线段所对的两个。

解法二

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作法:

  1. 以中间线 l2 为一边,作正三角形 ABC,其中 A、C 在 l2 上,B 在 l1 上;

  2. 作 BC 的延长线,交 l3 于 D 点;

  3. 作角 DAE 等于 60 度,交 l1 于 E 点;

  4. 连接 DE。三角形 ADE 即为所求。 证明略

和四点共圆角度关系有关的证明当然远不止以上两题,另外比较著名的问题是三角形三条高线共点的证明,以及反演圆的做法。除此以外,在《几何明珠》这本书中,用到四点共圆角度关系的包括婆罗摩及多定理、九点圆、斯坦纳-雷米欧司定理、蝴蝶定理、西姆松定理、米凯尔圆定理,这里就不一一列举了,敬请读者阅读欣赏。

四点共圆模型欣赏

关于“几何模型”的话题似乎可以告一段落了,至少本人目前没有继续写下去的能力了。我也曾经想过把常见模型整理一遍,后来想还不如让同学们自己总结。如果我将来还能就这个话题再说一些东西,会及时和大家分享。本文要说的最后一点是,虽然几何模型很重要,但是我们的学习也要明确重点和难点,不能“胡子眉毛一把抓”,这是因为如果要细究几何模型的话,会发现内容太过丰富,光是掌握这些模型就不胜其烦,又怎么能用来帮助解题呢?


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