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照相机调焦背后的数学秘密

数学对普通人来说,除了买菜还有什么用?这是个好问题。我打算找找实际的例子给说一下,但是不能保证都说得好,今天这篇文章算个尝试吧。

照相机调焦背后的数学秘密

现代的照相机往往可以自动调焦,但是如果你想拍出艺术感强一点的照片,总会用到手动调焦。下面的图就是某照相机调焦环的样子。手动调焦就是转动这个环,使照相机成像清晰的过程。

等等,上图中焦距那个 ∞ 无穷。那为什么会趋于无穷?即使我们拍几百光年以外的星星,距离也不会是无穷吧?

要讲清这个道理,就需要了解成像和调焦的原理了。我们从高中知道,照相机可以看作是凸透镜成像的具体应用,这里首先用到的数学是利用相似三角形的知识求出凸透镜成像公式:

照相机调焦背后的数学秘密

照相机调焦背后的数学秘密

其中 u 是物距,v 是像距,f 是焦距,这些具体概念就交给物理老师为你们讲解了。

如果你进一步学习就知道,这仅是个近似公式,更详细的计算需要根据折射公式(会用到三角函数)来算:第一步先要算光线在镜面的入射面如何进来,第二步是算光线在出射面如何射出,最后算这些出射光线能不能汇集到一起,如果能的话是汇集到哪里,不能汇集的话原因是什么,误差有多大……

你已经晕了?还没完呢,为了更好地成像,现代照相机不会只有一个镜片的。更要命的是,照相机生产厂家需要把计算过程反过来,也就是根据设计需要来选择镜片两个面的曲率、镜头的材料(折射率)等等。现在你知道为什么专业镜头那么贵了么?

照相机调焦背后的数学秘密

下面我们还是看看为什么调焦环上会出现无穷吧,为了简洁,我们还是用前面那个近似公式比较好。

所谓“调焦”,其实对很多镜头来说主要改变的是胶片或者别的成像材料到镜头的的距离。也就是说,焦距其实是定死的,物距也不进行改变了,这样像距当然也就不变了,然后我们转动调焦环,就可以把胶片移动到成像位置处。根据前面的公式可以得出:

照相机调焦背后的数学秘密

我们知道,一般情况下镜头焦距是很小的,往往才几十毫米,而物距起码一米以上,也就是说物距远远大于焦距,拍摄远方的物体更是这样。这时根据上面的公式可以看出来像距 v 是很接近焦距 f 的,而且几乎不变。也就是说,当我们拍摄远方物体时完全可以认为物距是无穷大的。

有人会说,那物距到底还不是真的无穷大,还是不能在胶片上清晰成像啊。这里要用到另外一个概念,就是“景深”。拍照时除了正好在胶片上成像的物体外(满足前面的公式),往往在被拍摄物体前后还有一段距离会成像比较清楚,这个前后范围就是景深。

照相机调焦背后的数学秘密

▲ 不同景深的变化可产生各种特殊效果(图自维基)

也正是因为景深的存在,才能使我们把几十米的物距当做无穷远来处理。景深当然也是可调的,不过这里不介绍了,只附一张不同景深的对比图以供参考。


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