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数学漫步:古希腊数学家喜帕恰斯球极平面投影及三个性质

古希腊的天文学家喜帕恰斯描述如何用两个数来定位球面上上任一点。他接着解释了球极平面投影:我们要如何在一张平铺的纸上绘制出整个地球呢?

数学漫步:古希腊数学家喜帕恰斯球极平面投影及三个性质

▲ 拉斐尔代表作之一《雅典学院》中的喜帕恰斯

一、旁白

喜帕恰斯(Hipparchus) 是我们故事的第一位主角,但是我们不能对他说的话太认真!他自称为地理与天文学的创始人。这似乎有点言过其实;谁能真正地如此断言呢?难道旅行者从不描述山水风情,牧羊人不曾仰望夜空繁星?一门学问,是很少只由一人所独创的。然而,喜帕恰斯仍应被尊为古时最优秀的智者之一。h

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▲ 托勒密及他编制的宇宙图

本章第二位出场的人物是三世纪之后生于西元 85 年,卒于 135 年的托勒密(Ptolemy)。这位众所周知的天文与地理学家是受到喜帕恰斯的研究成果所启发的。不过,至于这对他影响有深远,历史学家们的意见则不甚相同。托勒密到底是不是取用喜帕恰斯的观测结果,而非自行测量?我们把这个难题留给专家们。

二、经纬

喜帕恰斯和托勒密将于第一章告诉我们什么事呢?他们将解说我们现今称为坐标系统(coordinate system) 的概念。

我们早知道地球是圆的。而在甚至还没有任何人环绕过地球以前,聪明的希腊几何学家就已经知道怎么准确地测量它的周长。

地球每天绕着一条轴心自转一圈。这条轴心连接了各称为北极(north pole) 与南极(south pole) 的两点。每年,地球也会绕着太阳公转一圈,但喜帕恰斯和托勒密都不知道这个事实;他们还以为是太阳绕行着地球。一直到哥白尼所处的十六世纪时,人们才开始了解原来是地球正在绕行着太阳。

想要找出地球的确切形状就较为费时,事实上,直到几十年前人们才能用公分以下的精度来测量其各处之长短。地球并不是一个非常端正的球体:它在两极处稍微扁平。不过,它的极半径(6536 km,看看这样的精确度!)与赤道半径(6378 km)已经相当地接近了。

喜帕恰斯先请我们把地球假设为一完美的圆球,接着讲解了一些基本球面几何学。根据定义,球面 是所有与球心(center)等距的点之集合。一条通过球心的直线与球面相交于两点,且为一球面之对称轴。我们可以把这条直线当做地球的转轴,并把两个交点分别称作北极和南极。

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通过球心的一平面与球面交于一称作大圆线(great circle) 的圆周。大圆线把球面分割成两个半球(hemispheres)。若此通过球心的平面与转轴垂直, 则它们相交而成的圆周就称为赤道(equator),而两个半球则分别称为南半球(southern hemisphere)与北半球(northern hemisphere)。通过转轴的平面与球面相交之大圆线将通过南极与北极。这些大圆线都各由两个连接两极的半圆周所组成;这些半圆周称为经线(meridians)。除了极点之外,地球上的每一点都只在一条经线上。今因假设地球是正球体,故所有经线皆等长;它们的长度都等于北极在球面上与南极之间的最短距离(约 20000 km)。

有一条经线被定义为地球上所有经线的起始处。它通过英国的格林尼治(Greenwich)天文台;不过,我们其实也可以任取其它线为起点(而法国人将非常乐见它经过巴黎!)。所有其它的经线则由被称为**经度(longitude) ** 的角度(于下图中被标示为红色)所形容。在地理学中,一般规定这个角度取值范围为格林尼治经线以西或以东 0 到 180°。

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垂直于轴心的平面把球面切割成互相平行的纬线(parallels)。纬线将会随着离极点越靠近而变得越短小。两极中间的赤道是相当特殊的一条纬线;它是所有纬线中最长的一条。其余的纬线皆位于赤道以北或以南,且并各由被称为纬度(latitude) 的角度(图中标示为绿色)确认。

除了两极之外,地球的每一点都是一条经线与一条纬线的交点,故我们可以给出每一点的经度与纬度。反之,若我们知道了地球上一点之经纬度数,就可以找到它的位置。

重要的是,我们需要两个数字方可确定地球上一点的位置。 所以,我们说地球表面是二维的。同理,桌子或是足球的表面也是如此。

当然,我们位在仅约为地表的地方而已!例如,人们搭乘飞机时,单凭经度和纬度就不再足以精准地描述出位置了……我们还要知道离地的高度。因此,如果想要确认我们在地球外层空间中的位置,就必须用上三个数字。 于是我们说空间是三维的。未来我们还会再提到这一点。

三、投影

喜帕恰斯于本章第二部分中讲述了数学中最重要的概念之一,即投影(projection)。地球是圆的,但若我们想要编制地图册,我们会希望能将它表示于一平面(例如一张纸)上,以制作地图。

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有很多种绘制世界地图的方法。一般而言,我们会先选定一地点 p,然后再将这点与平面上一点 F(p) 相配。如此一来,我们就将该地点于平面上表示出来了。地图学的精髓在于如何选定表示法 F;不同的选择将会彰显出一地域之不同的特征。等距映射将是最理想的选择。两点 p 与 q 之间的距离,与在它们经过等距映射之后被表示于平面上的两点 F(p) 与 F(p) 之间的距离,是完全一样的。但不幸的是,根本不存在这种映射,而我们只得想办法退而求其次。例如,有些映射可以尽量忠实地呈现出一些地形的样貌。地图学是一相当迷人的学门,其历史常与数学史同样地源远流长,又拜现代精准的测量法与电脑科技所赐,近来还获得十分重要的进展。

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喜帕恰斯介绍给我们的映射有个深奥的名字:球极平面投影(stereographic projection)。时至今日,除了用于描绘极区之外,制作地图时已多半不采用球极平面投影了。不过,随着影片的进行,我们将会渐渐地理解到这种投影法于数学上有着深远的影响,且事实上极具用处。

它的定义很简单。我们考虑一与地球在南极相切的平面 P。对球面上(除了北极之外)的每一点 p,我们画出一条连接北极与点 p 的直线 pn。这条直线与切平面 P 交于另一点 F(p)。球极投影法就因而将球面(除了北极外)在平面 P 上表示出来了。

谁发明了这个投影法?这又是一个备受争议的话题…有些人认为是喜帕恰斯,又有些人觉得是托勒密,还有些人主张的确是喜帕恰斯发明的,但是他并不了解它的性质。

球极投影法有三个息息相关的基本性质。

▌第一个性质

球面上的一个圆经过球极投影法在平面上的变换是一个圆或一条直线。影片里清楚地说明了这个性质。如果您耐心地看到最后一章,您就可以知道其原因何在。

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为了说明此性质,喜帕恰斯把地球放在切于南极点的平面上滚动。滚动会使南极点离开此平面。同时,投影也不再是由北极投射而下,而是从球体的「最高点」投射到接「最低点」的切平面上。虽然把地球这样滚来滚去的想法也许是不切实际的,但是我们可以因此得到一些很不错的投影图!

▌球极投影法的第二个性质

它保有原来的角度。意即,球面上任意两条曲线的交角皆不会随着投影而改变。这一点并没有在影片中被加以说明。

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您可以在上图中发现,经线与纬线在经过投影后是交于直角的,就跟它们在球面上的情形一样。这个特质对于正在绘制路线图的领航员特别有用……在地图上用工具量出来的角度,就与实际的角度完全相同,这对他们来说真是好极了。

▌球极投影法第三个性质

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尽管此投影法并不完完全全保距,它会「尽其所能」地做到这一点。设球面上一点为 p,另设点 p 周围的一块小区域为 R。球极投影法会把这块区域 R 映射为一块点 F(P)周围的一块区域 F(R)。R 越小,F 就会把 R 的原形保留地越完整。用数学的语言来说就是:存在一所谓 R 之映射缩放常数 k,使得 R 内任意两点 q1 与 q2 之间(在球面上)的距离与点 F(q1 ) 与 F(q2 ) 之间(在平面上)的距离之比皆近似于 k。这里的「近似」是什么意思?它的意思是说,若 R 越小,则距离比就会越接近 k。即,大致而言,这个映射会保有极小区块之形状,故此映射是共形(conformal) 的。这是球极投影法最重要的一个性质:若仅欲投影所在地附近之小块区域,球极投影法已几近完美。

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在结束第一段旅程之后,让我们重温一下喜帕恰斯教了我们什么:球面是二维的,因为我们可以用经度与纬度两数确认球面上的点位于何处。还有,球极投影法对于将球面表示于平面上之工作非常地有用……。

当我们探索三维空间与四维空间之时,这些事实将会很有帮助。

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