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用数学来观察万物关联的法则,奇妙的斐波那契数列与螺旋线

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-15 22:56:10 359 1 数列

用数学来观察万物关联的法则,奇妙的斐波那契数列与螺旋线

孩子们在探索世界的时候,从来不羞于一口气把关于风、水、云、山的问题问个遍。他们还很“无知”,提出的问题比较笼统。慢慢地,他们开始体悟到生命的规律,尽管不了解其中的逻辑与原因,但还是能感受到它们的存在。后来,正当他们的探索有了一些成果时,他们的好奇感又骤然下降,这使他们从探索之旅中抽身离开——因为童年已经逝去。

大约在 800 年以前,一个小男孩降生在意大利的一位海关官员家中,他是一个爱幻想而且聪慧过人的孩子。他的家人给他起名莱昂纳多,但是镇上的人们给他起了一些略带调笑意味的绰号,比如“木头人”,甚至他爸爸也会称呼他“傻瓜儿子”,斐波那契也是他的名号之一——斐波那契这个名字随他一道被载入了史册。

斐波那契年轻时写了一本有关阿拉伯数字的著作。欧洲能够引入这种新的数字形式,很大程度上都归功于这本手稿。这本手稿的最后一页中藏有一道小小的数学问题及其解答,而这道问题成了历史上最伟大的自然谜题之一。就像领会到了生命的另一种起源方式,从这个简单的谜题中,斐波那契窥见了人类其实只了解一小部分宇宙真理。斐波那契提出的问题非常简单:一对兔子在一年内会繁殖出多少只小兔子?前提条件有:(1)每对兔子每个月会繁殖出两只兔子;(2)新生的兔子在出生后的第二个月开始繁殖。

斐波那契这样解答了自己的问题:第 1 个月,兔子的数量没有发生变化,因为最初的那对兔子还很幼小,无法生育。

第 1 个月 = 1 对

第 2 个月的时候,第二对兔子出生了。

第 2 个月 = 2 对

第 3 个月的时候,只有最初的那对兔子生育了一对兔子。

第 3 个月 = 3 对

到了第 4 个月,最初的那对兔子和它们生出来的第一对兔子也已经达到了可繁殖的阶段,所以它们又各生育了一对兔子。

第 4 个月 = 5 对

到了第 5 个月的时候,最初的那对兔子和第一代生出的那对兔子都到了繁殖的年龄,各生育 1 对兔子,这就新增了 3 对兔子。

第 5 个月 = 8 对

以此类推,直到第 12 个月:

第 6 个月 = 13 对

第 7 个月 = 21 对

第 8 个月 = 34 对

第 9 个月 = 55 对

第 10 个月 = 89 对

第 11 个月 = 144 对

第 12 个月 = 233 对

按照谜题的设定,斐波那契算到第 12 个月就停止了,但这个数列是可以无限延展下去的。斐波那契用公式表示了这个数列,无论是在问出这道谜题之前还是之后发现的,斐波那契都提出了史上最有意义的数列之一。

乍看之下,数列中的数字似乎是随机的,但你应该很快就会注意到每个数字都是前面相邻的两个数字之和:

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34

21 + 34 = 55

34 + 55 = 89

以此类推下去,比如数列中一个更大的数字:

4181 + 6765 = 10946为了建立起斐波那契数列与现实世界的联系,我们需要回顾一下刚刚提到的内容。正如达·芬奇所指出的那样,树叶(或是其他植物的叶片)会尽量避免互相遮挡,以便每一片树叶都能尽可能多地接受光照。树枝在树干上的排列也遵循同样的方式。大自然历经无数次或成功或失败的尝试,最终演化出了一种螺旋式的最佳生长模式。在新长出的枝条上,叶片会按照一条盘旋的路线向上生长,也就是说,相对于先长出的叶片,后长出的叶片的位置是螺旋向上的。叶片的数量与螺旋的紧密程度是多种多样的,但是它们在数值上总会与斐波那契数列密切相关。

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植物的茎和枝条以及云杉球果一类的事物都呈现出螺旋状图样,这是所有植物典型的生长模式。球果上的鳞片可以看成向左或向右呈螺旋状向上生长。图 B 描绘的是挪威云杉的球果,从左螺旋的方向看,有 13 排鳞片,从右螺旋的方向看,有 21 排鳞片——这两个数字都属于斐波那契数列。云杉的亚种往往是按鳞片排列的数目进行区分的。

某种植物或许有 13 片叶片,它们绕着茎旋转了 8 圈,也可能是 5 圈;另一种植物可能在某个方向上有 5 个螺旋,反方向上有 13 个螺旋。各种植物都有相同的生长方式,比如松果的鳞片,树木的枝条,灌木的刺,或是向日葵的种子。向日葵种子在花盘中央旋转排列,可能沿某个方向排出了 89 排,反方向上则有 144 排。以上这些数字都能够在斐波那契数列中找到。

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图中最大的形状是一个等腰三角形,其顶点分别为 1、2、3。如果将三角形的底边“23”以“2”点为中心进行旋转,直到“3”点与未转动之前的“13”边重合,重合点为“4”点,这就形成了另一个等腰三角形“234”。如果将新形成的三角形的底边也进行类似的旋转,那么这又将形成一个更小的等腰三角形“345”,以此类推,我们将会得到等腰三角形“456”“567”“678”“789”以及“8910”。这一系列点的轨迹就形成了等角螺线的切线。

螺旋线是一种绕中心旋转,半径逐渐增大的曲线(闭合圆圈的半径是固定不变的)。半径增加的速率决定了螺旋线的类型,而有一种类型在大自然中占据着主导地位。这种螺旋线有好几个名称,比如对数螺线、等角螺线,有时也被称为黄金分割螺旋线。它的定义:曲线新增加的长度与该部分到中心极点的距离(即半径)成正比,或者说与该螺旋线所走过的距离成特定比例。连接螺旋线上任意一点与中心的半径和螺旋线的夹角全都相同。

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贝壳的持续生长只能沿着外边缘进行,这样一来,在尺寸增加的同时,螺线的特定比例也能保持。小图是贝壳的横截面,我们可以从中看出贝壳生长的等角螺线。

这些奇妙的现象揭示了等角螺线的奇特性质,也解释了为什么这种形式会频繁地出现在大自然中。就像达西·汤普森所指出的那样,在孩子长大成人的过程中,身体的各个部位都在生长,因此形貌基本能够保持不变。人类身体的各个部位一起生长和衰老,它们存在的时间相差无几。贝壳以及与它相关的形态是从一个点开始生长的,生长的边线围绕在贝壳的开口处(也被称为衍生圆)。但这种等角螺线状的贝壳无论是否成熟,都能够保持特定不变的比例。成熟贝壳的材料在螺纹形成之初就已经确定了,所以贝壳的中央是最“年长”的,外边缘是最“年轻”的。无论贝壳长到多大,等角螺线的比例永远不变。


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