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当美与数学相遇时——欣赏我们身边的12个迷人之数

当美与数学相遇时——欣赏我们身边的12个迷人之数

数学之美源自于它的抽象与纯洁、简洁与深度,能够欣赏的人透过这些来获得审美的愉悦。匈牙利数学家埃尔德什·帕尔这样说:“为什么数字是美丽的?这就像问贝多芬的第九交响曲为什么是美丽的。如果你自己没有体会到,那其他人也不可言明。我知道数字是美丽的。如果数字不美丽,什么都不是。”

尤其是,一些特别的数字会经常出现在重要方程和公式之中,而由这些方程公式的结论所推导出结论也让它们拥有了更为独特的数学之美。在本文中会列举出来从无穷 ∞ 到黄金比例 φ 的 12 个有趣数字。

12. 无穷:∞

在数学,无穷(或称无限)更多地是一个想法或概念,而非一个数。无穷大的符号为∞,称为双扭线。

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在讨论有关无穷的性质及其他有趣的事情之前,我们要先知道,π 也是一种无穷的形式(这个数学常数稍后会在后面文章中再聊),当然这里指的是小数点后面的无限不循环部分,3.14159…。

我们无法界定到底第多少位开始才算做第无穷大位,这就是为什么无穷大是一个概念, 而不是能够量化的概念。

另一个例子来自美丽的分形领域。举个简单的例子,科赫雪花曲线可以被细分为无限多个无限小的相同形状的小段。

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有趣的是,这样美丽的雪花曲线当把无穷放大后,即便长度无限大,但它还是保持着自身的形状。

再来看看 2 个与无穷相关的简单话题。需要注意的是,集合论之父格奥尔格·康托尔的后半生就是因为无穷而遭受到了当时许多数学家长期攻击和严厉批评。直到他离世后数十年,才被绝大多数数学家认可其理论,并认为是数学史上一次重要的成果。

1=0.999… 吗?

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很自然地,当循环小数 0.999…中 9 的数量趋近于无穷多时,它等于 1,从代数上证明这个结论也很容易,下面快速来看一下:10x = 9.9999

如果分别从两边减去 x,就会得到:9x = 9.9999 -0.99999x = 9

再除以 9,就有:x = 1

是不是有点意思呢?其实证明方法有很多,感兴趣的朋友可以尝试更严谨的证明。

∞ — ∞ = 0 吗?

任何数减去它自身都会得到零,但刚才提到过,无穷不是一个数,所以不遵循这个原则。下面来做一个测试来验证一下,比如把这个式子两边同时加上 1:∞ — ∞ + 1= 0 + 1

要知道无穷加上 1 等于无穷,可以利用这个来简化方程:∞ — ∞ = 1

一个意料之外的结果!利用这个方法,可以让无穷减去无穷,来得到任何我们想要的数。因此,用无穷减无穷是没有意义的。

以下是一些有关无穷的计算公式:

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11. 虚数单位:i

数学或物理中,虚数单位 i 意指不存在、虚构的数,它出现使得数由实数扩展到复数中。

虚数(imaginary number)是一个实数与虚数单位的乘积,它也是复数。当对虚数进行平方运算的时候,会得到一个负数。这不是通常实数意义下的平方运算,因为把某个实数乘以它自己时,会得到一个正数结果。

在 17 世纪,法国著名数学家勒内·笛卡尔还带着调侃的语气称虚数为不存在的数,就是认为这是无用的概念。那么 -6 的平方根是多少呢?当时人们并不知道。但这并不妨碍数学家推开复数之门,发明这种数。到了下个世纪由欧拉和高斯的研究,虚数被数学界广泛接受。

这也就是数学之美与其他科学工具不同,数学家总可以假设某个对象存在,细心论证,并考虑它们能更好地为研究所用。

那它们有什么用呢?答案之一是可以用它求出一些在实系数方程中无解的根。让我们来看看具体的例子:

  • √4 等于多少 ? 很简单, 等于 2.

  • √-4 等于多少?有点复杂但答案是 2i.

我们添加了代表虚数的 i 来帮助得到 -4 的平方根。下面来检验一个通常被称作无解的方程,并看看如何用虚数解决它。

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显然,x 的平方绝不会得到一个负数(在这里我们用的是 -1),所以就假设答案是 i。

就是这样,在复数域中,这个方程以及所有多项式方程都能找到解。不仅如此,在电路设计中,虚数更是重要,工科学子可要学会使用这个工具。

10. 古戈尔 Googol

1 古戈尔等于 10^100,也就是后面缀着 100 个 0。这么大的数如果要按位念是这样:“一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿”,要知道后面跟着12个“亿”。

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它几乎等于 70!(阶乘),或者想这个问题:“ 个人排队方法有多少种呢?”答案就近似古戈尔的数量级。

要知道全宇宙所有原子总数约在 10^72 到 10^87 个之间,这都要比 1 古戈尔要小。

为了让头脑风暴来得更猛烈,这里还有一个被称作古戈尔普勒克斯(googolplex)的数,就是 10 的古戈尔数次方,它写作:

对于这个古戈尔的指数,不要试图写出或存储起来,至少以人类目前的技术是遥不可及的。

很有意思的是,谷歌公司名最初来历就是被拼写错误的古戈尔数。不过这确实是命名搜索引擎的好方法,很形象表示互联网络上无尽的信息内容。但本身对于数学而言却无特别有用之处,倒被更多被用在叙述上面那样或宇宙大爆炸的天文学研究当中。

9. 数字 9

自然数 9 是我最喜欢的数字,巧合的是这也是本文介绍的第九个有趣的数。我觉得它看上去特别美丽,富含数学之美。在几何学中,我们会发现它隐藏在许多地方,例如:

  • 整圆. 每个圆有 360° (3 + 6 + 0 = 9)

  • 二等分圆.每个半圆有 180° (1 + 8 + 0 = 9)

  • 四等分圆. 每个四等分圆有 90°(9 + 0 = 9)

  • 八等分圆. 每个八等分圆有 45°(4 + 5 + 0 = 9)

  • 16 等分圆。每个 16 等分圆有 22.5° (2 + 2 + 5 = 9)

  • 32 等分圆。每个圆有 11.25°(1 + 1 + 2 +5 = 9)

  • 圆内接正三角形. 内角和是 60° × 3 (180 = 1 + 8 = 9)

  • 正方形. 内角和是 90° × 4 (360 = 3 + 6 + 0 = 9)

接下来是其他圆内接正多边形:

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从左至右: 五边形, 八边形, 十边形。

  • 五边形每个内角= 108° = 1 + 0 + 8 = 9 // 72 = 7 + 2 = 9

  • 八边形单角=135° = 1 + 3 + 5 = 9 // 45 = 4 + 5 = 9

  • 十边形单角= 144° = 1 + 4 + 4 = 9 // 36 = 3 + 6 = 9

而且,如果令数字相加,还会回到数字 9 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36)。就有 3 + 6 = 9

令数字相乘再把每位数上的数字相加也会回到 9,例如:

  • 9 x 1 = 9

  • 9 x 3 = 27 = 2 + 7 = 9

  • 9 x 7 = 63 = 6 + 3 = 9

  • 9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9

让 9 除数字也会给出相同数字的无限循环小数,例如:

  • 1 / 9 = 0.11111……

  • 3 / 9 = 0.33333……

  • 7 / 9 = 0.77777……

8. 数字 73

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如果你是美剧《生活大爆炸》迷的话,就一定听说过谢耳朵关于为什么 73 是完美数的演说,以下是原话:

“73 是最好的数字。为什么呢?73 是第 21 个质数,它的对称数字 37 恰是第 12 个质数,而 12 的对称 21 则是由 3×7 产生。

“73 的二进制 1001001 也恰是个回文数,正过来倒过去都是 1001001。”

这句话取自第十季第四集的节目,巧合的是这是第 73 集中的台词。

7. 自然对数函数的底数e

自然对数函数的底数 e,又称欧拉数。这个以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名的无理数与 π 同样重要。有趣的是,欧拉常数 e 已经被精确到 31415926535897 位(2020年12月5日记录)。

e 的诞生来自于下面 17 世纪雅各布·伯努利在研究复利时所发现的公式:

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对于上面式子考虑的极限值 e 到底是多少呢?伯努利并未成功算出,而是由 50 年后被欧拉攻破。欧拉不仅算出了 e 的 18 位数,并且还借助连分式的形式证明了 e 是一个无理数。

e 的连分数展开式如下所示,请观察里面的规律:

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注意到其中的模式了吗:

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很多增长过程的问题都可以用指数函数 e^x 来模拟,并且这里还有个很重要的性质——它与自身的导数恒等。

就这个性质下面是一个相关的数学小幽默图片:

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6. 斐波纳契数

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提到历史上比萨的列奥纳多这位人物,或许很多人都不晓得,不过如要说起他的外号就是斐波那契,那多数人肯定听说过。而排名第六位的斐波那契数也因这位数学家的外号而闻名世界。

1202 年,斐波那契在所著《计算之书》研究了兔子繁衍成长率的问题,他用简单的加法技巧创造了世界上最有趣的数列之一。顺便说下,他还将现代数的书写方式和位值表示法通过著书引入欧洲,这绝对也是非常重要的贡献了。

公平地讲,现在有证据表明早在 6 世纪印度数学家在斐波那契之前就知道这个数列,但我们仍然按照主流说法讨论,继续称之为斐波那契数列吧。

斐波那契数简单地由满足下面这个简单的递归方程构成,并生成下面这个趋于无穷大的数列:

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这个数列最美的地方在于它与自然界存在着紧密的联系。举个例子,人们可以在向日葵花盘能看到它的身影,也可以在雏菊花瓣观察到它的踪迹,以及小蜜蜂的筑巢,等等等等……,它似乎大自然最深处的秘密里处处隐现。

如果来观察数列中相邻的 2 个数,当趋近无穷时,它们的比值(x_n / x_(n-1))会越来越接近 1.61803398,也就是我们常说的黄金比例,我们会在后面再单独讨论这个美丽的数。

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5. 数字 23

许多人都看过这样的一部电影:金•凯瑞主演的《灵数23》。男主自从读过一本带有数字 23 的书,他似乎就被数字 23 缠上了。奇怪的是这个数字和他生活中很多事情似乎有神秘联系,影片中这个数字这似乎是通灵的完美例子。

而在数学里,有个与一般直觉相抵的生日问题。它指的是只要有23人,这群人里有两人同一天生日的机率就会大于50%。

如果有怀疑的话,不妨动手来一起算下。求出至少两人生日相同,重点在于算出每个人生日都不同的概率。

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其中 p'(n) 就表示 n 个人中,每个人的生日日期都不同的概率。

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计算可得,当 n=23 发生的概率大约是 0.507。顺便提一下,如果总共有 70 个人概率就会高达 99%。

4. Pi(π) 与 Tau(τ)

数学中最耀眼的明星阵营里必有圆周率的身影,人人都认识这个数。它是圆的周长与直径之比,如果画一个直径为 1 的圆,它的周长就等于 3.14159…。人们把这个无限不循环小数用字母 π 表示。

暂时不管这个中学时期的概念,先来看看下面这两个有关 π 的事实:

  • 它的小数部分是无限不循环的。

  • 我们都知道 π 的近似值是 22/7,但我们没法给出一个分数精准的描述 π,因为它是一个无理数。

那么为什么还要提 τ 呢?τ 被称为圆常数,其值为圆的周长与半径之比。一些数学家支持用 τ 来代替 2π,也就圆的周长与半径之比。因为很多问题中 2π 频频出现,这样做能更便于计算和表达跟圆有关的问题。

3. 欧拉恒等式

这就是为什么我在标题中用了"美"这个词。难以想象,数学中一些最美丽的概念,竟然有这么简洁的形式。先来回顾一下之前提到的的概念:

  • 自然对数函数的底数 e。

  • 虚数单位 i。

  • 圆周率 π

上面这三个数就可以组合成下面这个方程,并得出 -1 这个简单结果。

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怎么从这三个数学常数得到 -1 的呢?正如前面介绍那样是 i 拥有了把 2 变成 -1 的力量。欧拉恒等式是欧拉公式的一种特殊形式,后者如下所示:

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把欧拉公式绘制到复平面上(以实数轴和虚数轴建立坐标系),就会得到一个单位圆。

如果令 x = π, 我们就会得到如下方程:

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了解到 cos π = -1 以及 sin π = 0, 右边就会出现 -1:

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还可以通过等价变换来让方程变得更漂亮一点:

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这样就更加深刻,包含了数学中 5 个最重要的数学常数:0、1、e、π 和 i。并且包含了三种最基本的算术运算:加法、乘法和幂运算。绝对令人惊讶的是,这些看似无关的数都被这个简洁的公式联系起来。

2. 数 6174

6174 是卡布列克常数(以印度数学家D. R. Kaprekar命名),又称黑洞数。这个数有很有趣的特点,一个四位数如果按下面的方式反复计算,就会得到很神奇的结果。

  • 取任意一个至少有 2 位数不同的四位数。

  • 分别把这个四位数按升序和降序的方式重新排列,会得到两个新的两位数。

  • 现在用这两个数中大数减小数。

  • 如果不等 6174,重复第二步。

如果循环的次数足够多,最终会得到 6174。为什么无论选什么数字,都会得到 6174,这就是神奇之处了。可以另外再看几个示例,先用 2714 做个实验算下看看吧:

  • 7421 -1247 = 6174

换个数字,再拿 3678 试一试:

  • 8763 -3678 = 5085;

  • 8550 -0558 = 7992;

  • 9972 -2799 = 7173;

  • 7731 -1377 = 6354;

  • 6543 -3456 = 3087;

  • 8730 -0378 = 8352;

  • 8532 -2358 = 6174

这些数就像被吸入到黑洞里某个固定点中,故像 6174 这样的数也被称为黑洞数。而其他位数的数字也有类似的情况,比如 9 位数中有 2 个黑洞数: 554999445 和 864197532,感兴趣的朋友可以算下。

6174 还属于哈沙德数(Harshad number),也被称为尼云数,是指能够被其各个数位上的数字之和整除的自然数:例如 6174/(6+1+7+4)=6174/18=343。这就又为该数添了一笔神秘色彩。

1. 黄金比例

之前提及过这个黄金比例,但这可能是世界上最为重要的比例,以下是它的一些有趣的特性:

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  • 1.618… 与 0.618… 互为倒数,也就是 1.618… 的倒数是 0.618…,0.618… 的倒数是 1.618…,人们称两者为黄金比例共轭。可以有这个式子表示出来:1/ϕ≈1+ϕ

  • 它在自然界中广泛存在(就像前面提到的那样)。有些树的生长就是很好的例子,树干先是自由向上生长,长着长着它就拥有了一个分叉,于是产生了 2 个新的起点,其中一个起点会长出 2 个是新的分叉起点,而另一个则不会。这个模式这个规律就好像是斐波那契数列一样。

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  • 黄金比例广泛存在于几何学中,许多建筑和艺术品中都含有黄金比例。希腊的巴特农神庙就是典型的例子。

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  • 五角星内部也暗含着黄金比例。

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上面就是所介绍数学上 12 个有趣之数,希望通过本文这一简短的探索之旅,能让对面的你能像数学家一样欣赏数学之美,或能从一个新的视角来观察周围的环境并找到隐藏的美丽。


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