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天才数学家伽罗瓦的不幸运

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-06 16:52:53 76 0 数学家

天才数学家伽罗瓦的不幸运

数学家伽罗瓦

埃瓦里斯特·伽罗瓦(1811年10月25日-1832年5月31日),法国数学家,现代数学中的分支学科群论的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论,人们称之为伽罗瓦理论,并把其创造的“群”叫作伽罗瓦群(Galois Group)。在世时在数学上研究成果的重要意义没被人们所认识,曾呈送科学院3篇学术论文,均被退回或遗失。后转向政治,支持共和党,曾两次被捕。21岁时死于一次决斗。

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1832年5月30日清晨,在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人,过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤,就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点,这个可怜的年轻人离开了人世,数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说,他的死使数学的发展被推迟了几十年,他就是伽罗瓦,任何人在谈论他时无不加上天才二字。

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1811年10月25日,伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内。现在这所房屋的正面有一块纪念牌,上面写着:“法国著名数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦生于此,卒年20岁,1811~1832年”。纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗瓦表示敬意,于1909年6月设置的。

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9世纪初,有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们,而如何求解高次方程就是其中之一。历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程,我国在公元七世纪,也已经得到了一般的近似解法,这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪,宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里,充分研究了数字高次方程的求正根法,也就是说,秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。在西方,直到十六世纪初的文艺复兴时期,才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

三次方程被解出来后,一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522~1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力,但一直持续了长达三个多世纪,都没有解决。法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。

1770年,拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后,提出了方程的预解式概念,并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关,这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后,挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论,给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。

伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想,即设法绕过拉氏预解式,但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想,即把预解式的构成同置换群联系起来的思想,并在阿贝尔研究的基础上,进一步发展了他的思想,把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是:每个方程对应于一个域,即含有方程全部根的域,称为这方程的伽罗瓦域,这个域对应一个群,即这个方程根的置换群,称为这方程的伽罗瓦群。伽罗瓦域的子域和伽罗瓦群的子群有一一对应关系;当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群时,这方程是根式可解的。

1829年,伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时,把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院,科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道:“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家,我很遗憾未能出席今天的会议,希望你安排我参加下次会议,讨论已指明的议题。”然而,第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时,并未介绍伽罗华的著作,这是一个非常微妙的“事故”。1830年2月,伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了,以参加科学院的数学大奖评选,希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶,但傅立叶在当年5月去世了,在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样,伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。

1831年1月,伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上,又得到一个结论,他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作,当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月,最后结论居然是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的,但最后他还是建议科学院否定它。对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失,得不到应有的支持,但他并没有灰心,他坚持他的科研成果,不仅一次又一次地想办法传播出去,还进一步向更广的领域探索。

伽罗华诞生在拿破仑帝国时代,经历了波旁王朝的复辟时期,又赶上路易·腓力浦朝代初期,他是当时最先进的革命政治集团——共和派的秘密组织“人民之友”的成员,并发誓:“如果为了唤起人民需要我死,我愿意牺牲自己的生命”。1831年5月l0日,伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。在监狱中伽罗华一方面与官方进行不妥协的斗争,另一面他还抓紧时间刻苦钻研数学。尽管牢房里条件很差,生活艰苦,他仍能静下心来在数学王国里思考。伽罗瓦在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道:“把数学运算归类,学会按照难易程度,而不是按照它们的外部特征加以分类,这就是我所理解的未来数学家的任务,这就是我所要走的道路。”请注意到“把数学运算归类”这句话,道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑,这句话系指点目前所称的群论。由于其后好几代数学家的工作,最终才实现了伽罗瓦的理想。正是他的著作,标志着旧数学史的结束和新数学史的开始。

伽罗华死后,按照他的遗愿,舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了十四年后,也就是1846年,才由法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想,他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上,并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想,写了《论置换与代数方程》一书,在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。伽罗华最主要的成就是提出了群的概念,并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论,为了纪念他,人们称之为伽罗华理论。正是这套理论创立了抽象代数学,把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响,并标志着数学发展现代阶段的开始。


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