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数学家梅森与素数

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-03 19:30:51 84 0 数学家素数

数学家梅森与素数

数学家梅森

马林·梅森(Marin Mersenne,1588.9.8–1648.9.1)是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,1588年9月8日生于曼恩省的瓦兹,1648年9月1日卒于巴黎。他与大科学家伽利略、笛卡儿、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。

01梅森致力于宗教,但他却是科学的热心拥护者,在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。他捍卫笛卡儿的哲学思想,反对来自教会的批评;也翻译过伽里略的一些著作,并捍卫了他的理论;他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间,从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。

梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。17世纪时,科学刊物和国际会议等还远远没有出现,甚至连科学研究机构都没有创立,交往广泛、热情诚挚和德高望重的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。许多科学家都乐于将成果寄给他,然后再由他转告给更多的人。因此,他被人们誉为"有定期学术刊物之前的科学信息交换站"。梅森和巴黎数学家笛卡尔、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会,轮流讨论数学、物理等问题,这种民间学术组织被誉为"梅森学院",它就是法兰西学院的前身。

梅森积极宣传伽利略的力学成就。他得知伽利略被宗教法庭判罪后,立即把伽利略未发表的力学论文译成法文,以《伽利略的力学》为题出版,并在他《关于神学、物理学、道德和数学问题》一书中摘要发表了伽利略《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》中第一、二两天的对话。

梅森的学术成就以素数研究最为著名。1640年6月,费马在给梅森的一封信中写道:"在艰深的数论研究中,我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础"。这封信讨论了形如2^P-1的数(其中p为素数)。早在公元前300多年,古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P-1的先河,他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出:如果2^P-1是素数,则(2^p-1)2^(p-1)是完美数。

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P-1作了大量的计算、验证工作,并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言:对于p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257时,2P-1是素数;而对于其他所有小于257的数时,2^P-1是合数。前面的7个数(即2,3,5,7,13,17和19)属于被证实的部分,是他整理前人的工作得到的;而后面的4个数(即31,67,127和257)属于被猜测的部分。不过,人们对其断言仍深信不疑,连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。

虽然梅森的断言中包含着若干错漏,但他的工作极大地激发了人们研究2^P-1型素数的热情,使其摆脱作为"完美数"的附庸的地位。可以说,梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博,才华横溢,为人热情以及最早系统而深入地研究2^P-1型的数,为了纪念他,数学界就把这种数称为"梅森数";并以Mp记之(其中M为梅森姓名的首字母),即Mp=2^P-1。如果梅森数为素数,则称之为"梅森素数"(即2^P-1型素数)。

02

梅森素数貌似简单,但研究难度却极大;它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且需要进行艰巨的计算。1772年,被誉为"数学英雄"的欧拉在双目失明的情况下,以惊人的毅力和高超的技巧靠心算证明了2^31-1是第8个梅森素数,该素数有10位(即2147483647),堪称当时世界上已知的最大素数。2300多年来,人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人,因此被人们誉为"数海明珠"。梅森素数一直是数论研究的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一。

特别值得一提的是,中国数学家和语言学家周海中于1992年首次给出了梅森素数分布的准确表达式,为人们探究梅森素数提供了方便。后来这一重要成果被国际上命名为"周氏猜测"。 梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径;它的探究推动了数学皇后--数论的研究,促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。

在当代梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持,所以许多科学家认为:它的研究成果,一定程度上反映了一国的科技水平。英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯·索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志,也是科学发展的里程碑之一。


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