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北宋数学家贾宪简介及故事

北宋数学家贾宪简介及故事

北宋数学家贾宪

贾宪,北宋人,11世纪前半叶中国北宋数学家,约于1050年左右完成《黄帝九章算经细草》,原书佚失,但其主要内容被杨辉(约13世纪中)著作所抄录,因此传世。杨辉《详解九章算法》(1261)载有“开方作法本源”图,注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”,或称“杨辉三角”,现在大家多称“杨辉三角”。《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。

01

贾宪是中国十一世纪上半叶(北宋)的杰出数学家,曾撰《黄帝九章算法细草》(九卷)和《算法古集》(二卷),都已失传。据《宋史》记载,贾宪师从数学家楚衍学天文、历算,著有《黄帝九章算法细草》、《释锁算书》等书。贾宪著作已佚,但他对数学的重要贡献,被南宋数学家杨辉引用,得以保存下来。

贾宪的主要贡献是创造了“贾宪三角”和“增乘开方法”。增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的综合除法,其原理和程序都与它相仿。增乘开方法比传统的方法整齐简捷,又更程序化,所以在开高次方时,尤其显出它的优越性。增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳(公元1819年)的方法相同,但比他早770年。

在中国数学史上贾宪最早发现贾宪三角形。杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图,并说明“出释锁算书,贾宪用此术”。贾宪开方作法图就是贾宪三角形。杨辉还详细解说贾宪还发明的释锁开平方法,释锁开立方法,增乘开平方法,增乘开立方法。

贾宪的老师楚衍是北宋前期著名的天文学家和数学家,“于《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙”。当时人王洙(997—1057)有记载:“世司天算,楚,为首。既老昏,有,子贾宪、朱吉著名。宪今为左班殿直,吉隶太史。宪运算亦妙,有书传于世。”根据《宋史·艺文志》记载贾宪著有《黄帝九章算经细草》九卷, 又据《明焦竑国史·艺文志》记载,著有《算法斅古集》二卷 及《释锁》,可惜均已失传。杨辉著《详解九章算法》(1261年)中曾引用贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表,现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。前者比帕斯卡(PascalBlaise,1623—1662)三角形早600年,后者比霍纳(WilliamGeogeHorner,1786—1837)的方法(1819年)早770年。此外,“立成释锁开方法”的给出,“勾股生变十三图”的完善,以及“增乘方求廉法”的创立,都表明贾宪对算法抽象化、程序化、机械化作出了重要贡献。

贾宪是否从事过数学教学工作,我们不得而知,但就宋初私学活跃以及数学地位而言,不能排除他传授数学知识的可能性,“宪运算亦妙,有书传于世”当可佐证。我们知道,古代学者著书立说目的之一就是教育世人,因此我们有理由探讨贾宪的数学教育思想。仔细研究细草,从中可以发现其数学教育思想的闪光之处:重视抽象、注重概括、系统思维、发散思维。

02

在研究《九章》过程中,贾宪使用了抽象分析法,尤其在解决勾股问题时更为突出,他首先提出了“勾股生变十三图”。他说:“勾股弦并而为和,减而为较,等而为变,为乘,为段,自乘为积,为幂。”十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股较(b-a)、勾弦较(c-a)、股弦较(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦较和(c+(b-a))、弦和和(c+(a+b))、弦和较((a+b)-c)、弦较较(c-(b-a))。他完备了勾股弦及其和差的所有关系,说这些关系“有用而取,无用不取,立图而验之”,说明他已经抛开《九章》算题本身,并对勾股问题进行抽象分析了。

例如“出南北门测邑方”问,《九章》的方法是:术曰:以出北门步数乘西行步数,倍之为实,并出南门步数为从法,开方除之即邑方。贾宪的方法是:术曰:余勾乘股,倍之为实并二余勾为从,开方除不。正是掌握了这一方法,才使他能够使用纯数学的方法改写《九章》术文,给后人留下公式化的解题范例。在方程术等其他章节的细草中,他也广泛运用了这种方法。

程序方法

程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤。适用于同一理论体系下,同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法,比如少广章有:“今有积一百八十六万八百六十七尺,问:为立方几何?”这是一道对1860867开三次方的问题。贾宪的方法是:草曰:(1)实上商置第一位得数一百。(2)以上商乘下法置廉一百,乘廉为方一万,除实,讫。(3)复以上商一百乘下法入廉共二百,乘廉入方共三万。(4)又乘下法入廉共三百。(5)其方一、廉二、下三退定十。(6)再于第一位商数之次,复商第二位得数二十,以乘下法入廉共三百二十,乘廉入方共三万六千四百,命上商除实,讫余一十三万二千八百六十七。(7)复以次商二十乘下法入廉共三百四十,乘廉入方共四万三千二百尺。(8)又乘下法入廉共三百六十。(9)其方一、廉二、下三退,如前。(10)上商第三位得数三尺,乘下法入廉共三百六十三,乘廉入方共四万四千二百八十九,命上商三尺除实,适尽,得立方一面之数。

用现代表述方式体现为:

(1)1000000+00-18608671

+1000000+10000001000000

(2)1000000+1000000+1000000-860867

+1000000+2000000

(3)1000000+2000000+3000000

+1000000

(4)1000000+3000000+3000000-860867

1000+30000+300000-8608672

+2000+64000728000

(6)1000+32000+364000-132867

+2000+68000

(7)1000+34000+432000

+2000

(8)1000+36000+432000-132867

1+360+43200-1328673

+3+1089+132867

(10)1+363+442890

我们注意到这个开立方过程,已经形成了固定的程序。当代学者研究发现,程序化的数学思想方法是中国古代数学的重要特点,而贾宪的工作则使得开方程序系统化、规范化。贾宪的数学方法论,对宋元数学家产生了深远影响,纵观“宋元四大家”,莫不从中汲取精髓"。


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