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核武器的爆炸半径,他是这么计算出来的

xiawuyouke 趣味数学故事 2021-12-31 18:37:22 43 0

想象一下这样的场景:你是一名科学家,在上世纪40年代初为美国军队服务。此时军方交给你一项任务:计算新式武器——原子弹——的爆炸半径。很显然,美国打算使用原子弹去攻击敌人,而你要做的是确保原子弹爆炸时,友军在安全区域内。那么你要如何计算出爆炸半径呢?

核武器的爆炸半径,他是这么计算出来的

其中一种解决方法是做一系列的实验。引爆不同尺寸,不同重量,不同强度的原子弹,并测量它们的爆炸半径,分析不同的参数是如何影响爆炸传播的距离。这也确实是美方军队所做的(下图展示了一部分实验结果)。

科学家从这些实验中总结出3个对爆炸半径有主要影响的参数:

1 --- 时间 爆炸后时间越长,爆炸形成的火球传播得越远;

2 --- 能量 增加爆炸的能量,火球的半径会增大;

3 --- 空气密度 这可能并不是特别显然,实际上空气密度变大会使火球半径减少。如果你将空气的密度想象成空气的“厚度”,那么空气密度越大,空气越“厚”,它会阻碍火球的传播,因此传播了更短的距离后火球就停止前进了。

当时,时间t,能量E,与密度ρ之间的具体关系是未知的。若要精确了解增加的能量对最终结果有何影响,你需要大量的数据。这意味着你需要大量的实验,除非你和英国数学家G·I·泰勒想法一样… …

Taylor主攻的领域是流体动力学,该领域研究的是液体,气体,以及某些具有流体特性的固体(例如冰块)的运动。听闻美国要做如此危险的实验时,他立即出手解决这个问题。他使用了一个巧妙的方法——量纲分析。对于上述提到的单位,我们可以列出它们的单位:

[时间]=[T]

[能量]=[ML²/T²]

[密度]=[M/L³]其中表示时间单位是秒(s),M表示质量单位是千克(kg),L表示距离单位米(m)。我们需要解决的是爆炸的半径,而它的单位是长度L。Taylor的想法很简单,就是将这三个变量以某种方式组合起来,以凑出长度的单位。实际上,只有一种方式可以凑出长度的单位,因此凑出的结果会准确地告诉你火球的半径与这三个参数间的具体关系!可能听起来就像魔术一样,但是让我们试试吧。

为了消去质量的单位M,我们必须用能量除以密度(这是唯一的初等方式):

核武器的爆炸半径,他是这么计算出来的

现在为了消去时间的单位,我们必须乘以时间的平方(同样地,在不改变变量的情况下,这是唯一的选择):

核武器的爆炸半径,他是这么计算出来的

最后,上述方程两端开五次方,我们就得到了与长度有相同单位的式子:

核武器的爆炸半径,他是这么计算出来的

因此我们就得到了计算爆炸半径的式子:

核武器的爆炸半径,他是这么计算出来的

就是它了!在那段时间,美国军队将该方程视为最高机密,而G·I·泰勒竟然只简单使用了物理量的计量单位就如此简单地解决了,这让本来要做大量实验的小伙伴们略显尴尬。

我很喜欢这个故事,因为它展示了量纲分析在数学模型与科学中的广泛应用。物理的计量单位经常被看成计算结果的附属,但在这个故事中它们的确包含了大量重要的信息,这些信息能被用来推导出问题的解,而不必进行任何实验或更深入的计算。在大学中若要进行更高层次的数学与科学的研究,量纲分析是非常重要的技能。因为在许多问题中,要想精确推导出方程对你而言可能很困难,因此你不得不使用类似的技术以获得对问题的直观理解。


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