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要是没有“0”这个数字,你现在可能什么都没有了

xiawuyouke 趣味数学故事 2021-12-30 19:59:52 121 0

这可能是对我们日常生活影响最大的一个数字,也是最简单的数字之一。人类天生就能理解“无”的概念,但是将它用数值定量地表达出来却耗费了人类数千年的时间。虽然这个概念已经被最古老的人类理解并且应用到日常生活中了,将它写下来并赋予它明确的数值却要晚的多。今天带来的,就是数字“0”的发明历史,及其带来的重大变革意义。

要是没有“0”这个数字,你现在可能什么都没有了

数学的世界中,“无(Nothing)”的概念对各个方面都产生了深远影响。对于“无”,我们实际上指的是数字0,也就是什么都没有的状态。自从有历史记录开始,人们似乎先天就知道怎么应用0的概念,甚至连动物都能意识到事物缺失的状态。

将“无”量化,困难重重

人类天生就能理解“无”的概念,但是将它用数值定量地表达出来却耗费了人类数千年的时间。虽然这个概念已经被最古老的人类理解并且应用到日常生活中了,将它写下来并赋予它明确的数值却要晚的多。回过头来看这似乎是显而易见的,不过这里涉及一个悖论——我们用数字来表示量的大小,然而,零或无表示任何量都不存在。

0的值是没有值。可以做这样一个类比:0之于数学相当于黑色之于色彩。黑色相当于没有任何颜色,相应的,0相当于没有数值。虽然黑色相当于没有任何颜色,但是显然它是颜色的一种。同样的,没有数值的0仍然是一个数字。

0之前的0

作为早期文明的中心,美索不达米亚文明最早提出了和“零”类似的概念的表达方式。通过保存下来的文物,考古学家能够破译出大约4000年前古巴比伦人六十进制数字系统的书写方式:

要是没有“0”这个数字,你现在可能什么都没有了

古巴比伦人的六十进制数字系统

虽然六十进制的效率低于我们使用的十进制系统,但巴比伦数字系统在记录时间方面非常有用。不幸的是,这个系统也被商人用来记账。这时,它的缺点就暴露出来了。

巴比伦的数字系统面临的最大困难是这个系统里缺少真正的数字0。

记录时,抄写员会将“缺少数值(a lack of value)”表示为两个楔形标记。例如,要记录101,就在“十”位上用双楔形标记记录“没有值”。这种双楔形标记可以帮助抄写员区分开“101”和“11”。但这和我们现在使用的“0”有什么不同?重要的是,这种双楔形符号只是作为一个没有值的占位符,而不是和我们理解的“0”数值相同的数;尽管在这种情况下,双楔形记号的作用与零相同,但它并不具备数值“0”所具有的功能性和多功能性。

当计数到10甚至100,这个系统看起来还挺好用,每一个数字都对应一个符号或者两个符号的组合。只有记录更大的数时这个系统的缺点才会变得明显。如果要记录23,576,361,671,434。使用巴比伦人的计数法要写成下面表里的形式。

要是没有“0”这个数字,你现在可能什么都没有了

古巴比伦人的计数法表示23,576,361,671,434

如上图所示,我们通过将每一列(column)的值乘以符号代表的数值来计算每一行最右端的数值。重复这一过程计算出所有行的数值。最后,我们将最右端的数字加起来就是要表达的数字,左侧的符号就是巴比伦人的数字系统中记录这个数字的方法。复杂吗?也没有很复杂。实用吗?完全不实用。

巴比伦系统在处理较小的数时很好用,当时的商人处理的数字大约是几百几千的大小,而不是数百万这么大的数字。如上所述,这个系统的缺点在处理大量数据时更为明显。由于数字可以无穷大,巴比伦人面临着一项艰巨的任务:他们要通过他们建立的系统来确定每个数字的大小。

回过头来看,出现这种问题的关键在于没有数字0。在现代数字系统中,100、1000和10000之间的差别仅仅在于末尾上多了一个0。而在巴比伦数字系统中则需要完全不同的符号来表示这些数量。当数字可以做比记录每天卖出多少个面包更多的事情时,这种以符号为基础的系统就过时了。

随着数学在人类技术和社会进步中扮演着越来越重要的角色,“什么都不存在”的概念需要被量化。如果没有定义数字0,绝大多数的数学证明和定理将无法实现。零这个数字的发明,或者更确切地说是发现,是社会进步的一个重大飞跃,这可以追溯到7世纪初的印度。

来自印度的发明

虽然数字零的诞生地在历史和数学界中争论不休,但印度是可能性最大的发源地。虽然零的概念在美索不达米亚、中国和玛雅文化中是都出现过,但0的值首先是在古印度文献中被认定的。已知的最早包含数字零的文字是在巴赫沙利手稿(Bakhshali Manuscript)中被发现的,这是一本为印度商人编写的算术手册。考古学家发现,这本写在桦树皮上的古代手稿中数字下面有黑点,这些数字被认为是首次将0作为数字记录下来。

要是没有“0”这个数字,你现在可能什么都没有了

印度古代手稿中表示的“零”

与之前美索不达米亚人对零的用法相比,这本手稿没有将点用作占位符,而是将它作为一个数字。致力于研究印度零的概念发展的基金会秘书Peter Gobets认为:

数学零可能产生于“空”或者称为“顺雅塔(Shunyata)”哲学 的盛行时期。

佛教教义的核心概念是印度生活的核心,印度数学家婆罗门笈多将这一哲学具象化为数学零。他是公元628年第一个定义零及其数学运算的人。然而,值得注意的是,婆罗门笈多的贡献晚于《巴赫沙利手稿》大约500年。不管怎样,很明显,印度很可能是数字0的候选起源地。

欧洲人的反对

零的重要性是毋庸置疑的,然而欧洲在接受这一新的数学概念时显得犹豫不决。公元8世纪,零的概念随着摩尔人征服被传播到欧洲,后来斐波那契在意大利境内将零的概念发展起来。随着这一理念在整个欧洲的传播,欧洲不同的宗教领袖纷纷对它展开攻击。他们认为:

上帝存在于一切之中。所有“虚无”都是魔鬼的产物。

一些人把“无”的概念解释为撒旦的教义,因为“无”在逻辑上等同于“没有上帝”。与宗教信仰一起,种族问题也阻碍了零的概念的传播。例如,1299年,佛罗伦萨禁止使用阿拉伯数字:这是欧洲人对阿拉伯语和印度教民族的恐惧的直接结果。这项禁令限制城市内的商人只能使用罗马数字;这是一个没有数字零的过时的系统。直到16世纪,罗马数字才再次被佛罗伦萨的阿拉伯数字系统所取代。纵观过去50年来的科技进步,人们不禁要问,如果欧洲没有浪费这三个世纪,现在的科技会发展成什么样子。

反思

零的发现带来的生命力不能被低估——零是多功能的。它既是现代数字中的一个关键占位符,也是代表自己的数字:作为占位符,它区分了“1”和“10”,它还允许一个只需要10个数字的系统存在。但这并不是全部——零也是区分正负之间的“中间人”。

也许,发明数字零带来的最大、最持久的影响来自于数学的普遍应用。在0被发明之前,计算几乎完全依赖数学家使用算盘来实现。随着阿拉伯数字系统的引入,普通人能够计算出远远超出算盘能力的复杂计算,推动了科学、技术领域的发展。

不幸的是,在自然世界中几乎找不到零。“空荡荡的天空实际上被空间所填满”,这个悖论可能是抽象的和矛盾的,但它给后来的零发现带来了有趣的见解。科学和数学的早期进步是由对自然世界的研究和理解带来的。

由于自然世界中不存在零,所以人类花了几千年才将“无”的数值概念化,现在看来,这一点也不奇怪。


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