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三角形中位线定理证明,名师解析三角形中位线性质及其应用

xiawuyouke 趣味知识 2021-12-18 10:49:36 466 0

三角形中位线性质定理的应用是中考的热门考点之一,该定理常用来证明线段相等或计算线段的长度。学习该定理应掌握以下三个方面内容。

一、理解并掌握三角形中位线的性质定理。

1、三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

2、三角形中位线性质定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。

3、命题证明:

1分析命题:

题设:如果一条线段是三角形的中位线。

结论:那么这条线段平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。

2、画出图形:

分析与图形有关词语是:①三角形②中位线

3、写出已知和求证

三角形中位线定理证明,名师解析三角形中位线性质及其应用

已知:△ABC中,点D、E分别是AB,AC的中点

求证:DE//BC,DE=1/2BC

4:证明:

分析:证明某线段等于另一线段的一半时,常常延长较短线段的一倍,再证明线段相等。证明线段相等常用方法是三角形全等,本次利用平行四边形对边相等证明线段相等。

证明:延长DE到F,使DE=EF,连结CF。

∵AE=EC,DE=EF

四边形ADCF是平行四边形

∴AD//CF且AD=CF

∴BD//CF且BD=CF

∴四边形BCFD为平行四边形

∴DF=BC且DF//BC

∵DE=1/2DF

∴DE//BC且DE=1/2BC。

例1、已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F,G分别是AD,AE的中点,且FG=2cm,则BC长是多少?

三角形中位线定理证明,名师解析三角形中位线性质及其应用

解∵F,G为AD,AE中点

∴DE=2FG=2×2=4cm

同理BC=2DE=2×4=8cm。

例2、如图,D是△ABC内一点,BD丄CD,AD=7,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,

BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长为( )A,12 B,14 C,24 D,21

三角形中位线定理证明,名师解析三角形中位线性质及其应用

解:∵BD丄CD

∴∠BDC=90°

在Rt△ADC中,BD=4,CD=3

勾股定理可得BC=√BD²+CD²=√4²+3²=5

∵E,F分别是AB,BD的中点,

∴EF=1/2AD=1/2×7=3.5

同理HG=1/2AD=3.5

EH=FG=1/2BC=1/2×5=2.5

∴四边形EFGH周长=2×(3.5+2.5)=12

二、应用三角形中位线性质解决四边形的有关问题

例1、顺次连接四边形各边中点所成的四边形一定是平行四边形。

三角形中位线定理证明,名师解析三角形中位线性质及其应用

已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD中点,求证:四边形EFGH为平行四边形。

分析:当题中有中点时,特别是有两个中点时,如果中点在一个三角形中,直接用三角形中位线定理;如果不在一个三角形中,则需要连结四边形的对角线,构造三角形,再利用三角形中位线解答问题。

证明:连结AC

∵E,F分别是AB,BC中点,

∴EF//AC且EF=1/2AC

同理HG//AC且HG=1/2AC

∴EF//HG且EF=HG

∴四边形EFGH为平行四边形。

例2、如图:在△ABC中,延长BC至D,

使CD=1/2BC,过AC的中点E作EF//CD(点F位于点E右侧)且EF=2CD,连接DF,若AB=8,则DF长为( )

A,3 B,4 C,2√3 D,3√2

三角形中位线定理证明,名师解析三角形中位线性质及其应用

分析:延长FE交AB于点M,则M为AB中点。从而可得BD=MF,又因为EF//CD,可得BDFM为平行四边形,从而得

DF=BM=1/2AB=1/2×8=4

三、三角形中位线常见题型。

例1、(2019,湖州中考题)如图,已知在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连接DF,EF,BF。

(1)求证:四边形BEFD是平行四边形

(2)若∠AFB=90°,AB=6,求四边形BEFD的周长。

三角形中位线定理证明,名师解析三角形中位线性质及其应用

证明:(1)∵D,F为AB,AC中点

∴DF//BC,同理EF//AB

∴四边形BEFD为平行四边形。

解(2)∵∠AFB=90°,又∵D为AB中点。

∴DF=1/2AB=1/2×6=3(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这一定理在矩形性质一节)

BD=1/2AB=1/2×6=3

∴平行四边形BEFD周长=2×(3+3)=12

例2、在△ABC中,M是BC的中点,AD平分

∠BAC,BD丄AD于点D,AB=10,AC=14,

求DM的长。

三角形中位线定理证明,名师解析三角形中位线性质及其应用

分析:当题中只有一个中点时,需要添加辅助线,构造三角形的中位线。因为AD丄BD,且平分∠BAD可得△BAE为等腰三角形,D为BE中点。

解:延长BD交AC于点E。

∵AD丄B,AD平分∠BAC

∴△BAE为等腰三角形

∴AE=AB=10,D为AE中点

∴CE=AC-AE=14-10=4

∵M为AC中点,D为AE中点

∴DM=1/2CE=1/2×4=2


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