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国际象棋中的数学问题

xiawuyouke 趣味数学故事 2020-07-31 09:49:37 20 0

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故事适合年级:小学

【国际象棋中的数学问题】趣味小故事

国际象棋中的数学问题

一个国际象棋盘,是一个8×8的64方格,欧拉曾研究过棋盘上的跳跃问题,他证明了,存在一个马的跳跃路线,从一点出发,经过每一格一次且仅一次。最后又跳回到初始点。

上述的这样一个马步跳跃路线,称为棋盘上的马步哈密顿回路;如果不限制最后一步还要能跳回到始点,则称为马步哈密顿路。定义m,n是正整数,一个(m,n)马,是指在一个充分大的棋盘上一步可纵横跳m,n个格或n,m个格。于是,国际象棋的马是(1,2)马。下面给出一个定理,它刻画了(2,3)马和(1,2)马的本质区别。定理从8×8棋盘上任一点出发,均不存在(2,3)马的马步哈密顿路。证把8×8棋盘分成A,B两个区,分两种情形证明:

(1)若起始点在A区,存在(2,3)马的马步哈密顿路,由于从A区的任一方格经一步(2,3)马,它可以到A区的一格或B区的一格;而由B区的一格经一步(2,3)马只能跳到A区的一格,注意到A区的方格数和B区的方格数是同样多的,所以必须从A区到B区,再由B区至A区的交替跳跃,才可能不重复地跳遍A,B两区。另一方面,我们把棋盘依黑白两色染色,这样,从A区的白(黑)格,经一步(2,3)马,必到B区的黑(白)格,再从B区的黑(白)格经一步又回到A区的白(黑)格,如此下去,则只能跳过A区的白(黑)格和B区的黑(白)格,这和其存在(2,3)马的马步哈密顿路相矛盾。

(2)若起始点在B区,若存在着马步哈密顿回路,则(2,3)马不能交替地在B区与A去之间跳跃,否则归约到情形(1)的类似证明。于是,存在一步且仅有一步从区到区的跳跃,这是因为A区与B区的方格数相等,从B区的方格经一步(2,3)马必须跳到A区的缘故。考虑下面的3行,现考虑(2,3)马在P,Q,R之间的跳跃。若P,Q,R均尚未跳过。有以下情形:(i)(2,3)马首先跳到P点(首先跳到R的情形是类似的),由A,B区的构造,知必是A区跳到P点的。继而由(2,3)马从P至Q,Q至R.如果只不是最后一个未跳过的点。则下一步必须跳至A区的某一点。这样就出现了在A区之间的2次跳跃,因此R就是最后一个未跳过的点。当R是最后一个未跳过的点时,则考虑点S,T,U之间的(2,3)马的马步跳跃。当先跳到S或U时,由上述讨论可知,在S,T,U间会出现第2次从A区到A区的跳跃;当先跳到T时,由下述(ii)的推理知至少出现两次从A区到A区的跳跃。

(ii)(2,3)马首先跳到Q点,则(2,3)马从Q至P,P必至A区,经若干步又由A区跳到R点,至少出现2次从A区至A区的跳跃。(Q先至R后到P,讨论相同)

若从Q不跳到P或R点,它必跳到A区的某一点,则在以后的跳跃中,必然会出现一次从A区跳至P点,一次从A区跳至R点,同样会出现至少2次的从A区至A区的跳跃。总之,至少存在着2步从A区至A区的(2,3)马的跳跃,这与存在(2,3──马马步哈密顿路及A区,B区方格数相等相矛盾,定理证毕。






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